Question

7．已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（-1，0），直線y=-x+m與該二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，4），B點(diǎn)在y軸上，P為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過(guò)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)．

（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)E，使S_△EAB=3，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）²，把點(diǎn)A（-3，4）分別代入二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式中可得結(jié)論；
（2）先求AB的解析式，根據(jù)解析式表示出P、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)P（x，-x+1），E（x，x²+2x+1），由平行四邊形的性質(zhì)：CD=PE列式可求得x的值，計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況：如圖2，點(diǎn)E在AB的下方時(shí)，根據(jù)三角形面積=鉛直高×水平寬，此時(shí)的水平寬是3，鉛直高是EF，根據(jù)解析式表示，由面積=2，代入可求得結(jié)論；
如圖3，點(diǎn)E在AB的上方時(shí)，
由圖2可知，與AB平行且向上平移2個(gè)單位的直線EF的解析式為：y=-x+3，該直線與拋物線的交點(diǎn)即是點(diǎn)E，列方程組求出即可．

解答 解：（1）把A（-3，4）代入y=-x+m得：3+m=4，
m=1，
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）²，
把A（-3，4）代入y=a（x+1）²中得：a（-3+1）²=4，
a=1，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y=（x+1）²=x²+2x+1；
（2）如圖1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
∴B（0，1），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
把A（-3，4），B（0，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-x+1，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=1+1=2，
∴D（-1，2），
∴CD=2，
設(shè)P（x，-x+1），E（x，x²+2x+1），
∵四邊形DCEP是平行四邊形，
∴CD=PE，CD∥PE，
∴PE=（-x+1）-（x²+2x+1）=-x²-3x=2，
x²+3x+2=0，
（x+1）（x+2）=0，
x₁=-1（舍），x₂=-2，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=2+1=3，
∴P（-2，3）；
（3）存在，
過(guò)E作EF∥CD，交AB于F
設(shè)F（x，-x+1），E（x，x²+2x+1），
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$×3EF=3
∴EF=2
如圖2，點(diǎn)E在AB的下方時(shí)，
EF=（-x+1）-（x²+2x+1）=-x²-3x=2，
x₁=-1，x₂=-2，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=0，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=1，
此時(shí)點(diǎn)E（-1，0）、（-2，1）；
如圖3，點(diǎn)E在AB的上方時(shí)，
由圖2可知，與AB平行且向上平移2個(gè)單位的直線EF的解析式為：y=-x+3，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y={x}^{2}+2x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{9-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{9+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$）；
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（-1，0）或（-2，1）或（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求，本題就是設(shè)頂點(diǎn)式來(lái)求解析式；對(duì)于已知三角形面積的值，確定拋物線上一動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，常利用確定平行線解析式的方法，再利用兩函數(shù)的交點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題．