Question

7．已知二次函數圖象的頂點坐標為C（-1，0），直線y=-x+m與該二次函數y=ax²+bx+c的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標為（-3，4），B點在y軸上，P為直線AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點E，D為直線AB與這個二次函數圖象的對稱軸的交點．

（1）求m的值及這個二次函數的解析式；
（2）在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）拋物線上是否存在點E，使S_△EAB=3，若存在，請直接寫出此時E點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據頂點坐標（-1，0）設拋物線的解析式為：y=a（x+1）²，把點A（-3，4）分別代入二次函數和一次函數的解析式中可得結論；
（2）先求AB的解析式，根據解析式表示出P、E兩點的坐標：設P（x，-x+1），E（x，x²+2x+1），由平行四邊形的性質：CD=PE列式可求得x的值，計算點P的坐標；
（3）分兩種情況：如圖2，點E在AB的下方時，根據三角形面積=鉛直高×水平寬，此時的水平寬是3，鉛直高是EF，根據解析式表示，由面積=2，代入可求得結論；
如圖3，點E在AB的上方時，
由圖2可知，與AB平行且向上平移2個單位的直線EF的解析式為：y=-x+3，該直線與拋物線的交點即是點E，列方程組求出即可．

解答 解：（1）把A（-3，4）代入y=-x+m得：3+m=4，
m=1，
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）²，
把A（-3，4）代入y=a（x+1）²中得：a（-3+1）²=4，
a=1，
∴這個二次函數的解析式為：y=（x+1）²=x²+2x+1；
（2）如圖1，當x=0時，y=1，
∴B（0，1），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，
把A（-3，4），B（0，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-x+1，
當x=-1時，y=1+1=2，
∴D（-1，2），
∴CD=2，
設P（x，-x+1），E（x，x²+2x+1），
∵四邊形DCEP是平行四邊形，
∴CD=PE，CD∥PE，
∴PE=（-x+1）-（x²+2x+1）=-x²-3x=2，
x²+3x+2=0，
（x+1）（x+2）=0，
x₁=-1（舍），x₂=-2，
當x=-2時，y=2+1=3，
∴P（-2，3）；
（3）存在，
過E作EF∥CD，交AB于F
設F（x，-x+1），E（x，x²+2x+1），
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$×3EF=3
∴EF=2
如圖2，點E在AB的下方時，
EF=（-x+1）-（x²+2x+1）=-x²-3x=2，
x₁=-1，x₂=-2，
當x=-1時，y=0，
當x=-2時，y=1，
此時點E（-1，0）、（-2，1）；
如圖3，點E在AB的上方時，
由圖2可知，與AB平行且向上平移2個單位的直線EF的解析式為：y=-x+3，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y={x}^{2}+2x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{9-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{9+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$）；
綜上所述，點E的坐標為：（-1，0）或（-2，1）或（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$）．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求，本題就是設頂點式來求解析式；對于已知三角形面積的值，確定拋物線上一動點坐標時，常利用確定平行線解析式的方法，再利用兩函數的交點來解決問題．