【題目】如圖1,在△ABC中,ABBC5,AC6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,連接AEACBE相交于點(diǎn)O

1)判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形,說明理由;

2)如圖2,P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(圖2),(不與點(diǎn)BC重合),連接PO并延長交線段AE于點(diǎn)QQRBD,垂足為點(diǎn)R

①四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化.若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,求出四邊形PQED的面積;

②當(dāng)線段PB的長為何值時(shí),△PQR與△BOC相似.

【答案】1)菱形,證明見解析;(2)①不變,24;②PB=

【解析】

解:(1)四邊形ABCE是菱形.

∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的,

∴EC∥AB,且EC=AB,

四邊形ABCE是平行四邊形,

∵AB=BC,

四邊形ABCE是菱形;

2四邊形PQED的面積不發(fā)生變化.

方法一:∵ABCE是菱形,

∴AC⊥BE,OC=AC=3,

∵BC=5,

∴BO=4,

AAH⊥BDH,(如圖1

,

解得AH=

∵∠AHC=∠BOC=90°,∠BCA=∠BCA,

∴△AHC∽△BOC,

∴AHBO=ACBC,

AH4=65

∴AH=

由菱形的對(duì)稱性知,△PBO≌△QEO

∴BP=QE,

方法二:由菱形的對(duì)稱性知,△PBO≌△QEO,

,

∵△ECD是由△ABC平移得到的,

∴ED∥AC,ED=AC=6,

∵BE⊥AC,

∴BE⊥ED

=24

方法一:如圖2,

當(dāng)點(diǎn)PBC上運(yùn)動(dòng),使△PQR△COB相似時(shí),

∵∠2△OBP的外角,

∴∠2∠3

∴∠2不與∠3對(duì)應(yīng),

∴∠2∠1對(duì)應(yīng),

∠2=∠1,

∴OP=OC=3

OOG⊥BCG,則GPC的中點(diǎn),

∴△OGC∽△BOC,

∴CGCO=COBC

CG3=35,

∴CG=,

方法二:如圖3

當(dāng)點(diǎn)PBC上運(yùn)動(dòng),使△PQR△COB相似時(shí),

∵∠2△OBP的外角,

∴∠2∠3,

∴∠2不與∠3對(duì)應(yīng),

∴∠2∠1對(duì)應(yīng),

∴QRBO=PROC

4=PR3,

∴PR=,

EEF⊥BDF,設(shè)PB=x,則RF=QE=PB=x,

DF=,

∴BD=PB+PR+RF+DF=,

解得x=

方法三:如圖4,

若點(diǎn)PBC上運(yùn)動(dòng),使點(diǎn)RC重合,

由菱形的對(duì)稱性知,OPQ的中點(diǎn),

∴CORt△PCQ斜邊上的中線,

∴CO=PO

∴∠OPC=∠OCP,

此時(shí),Rt△PQR∽R(shí)t△CBO,

∴PRCO=PQBC,

PR3=65

∴PR=

∴PB=BCPR=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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