Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為菱形ABCD的對稱中心，已知C（2，0），D（0，﹣1），N為線段CD上一點(diǎn)（不與C、D重合）．

（1）求以C為頂點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)D的拋物線解析式；
（2）設(shè)N關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為N1 ， N關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為N2 ， 求證：△N1BN2∽△ABC；
（3）求（2）中N1N2的最小值；
（4）過點(diǎn)N作y軸的平行線交（1）中的拋物線于點(diǎn)P，點(diǎn)Q為直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)，且∠PQA=∠BAC，求當(dāng)PQ最小時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2

把D（0，﹣1）代入，得a=﹣

∴y=﹣ （x﹣2）2

（2）解：如圖1，連結(jié)BN．

∵N1，N2是N的對稱點(diǎn)

∴BN1=BN2=BN，∠N1BD=∠NBD，∠NBC=∠N2BC

∴∠N1BN2=2∠DBC

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=BC，∠ABC=2∠DBC

∴∠ABC=∠N1BN2，

∴△ABC∽△N1BN2

（3）解：∵點(diǎn)N是CD上的動點(diǎn)，

∴點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，

∴當(dāng)BN⊥CD時(shí)，BN最短．

∵C（2，0），D（0，﹣1）

∴CD= ，

∴BNmin= ，

∴BN1min=BNmin= ，

∵△ABC∽△N1BN2

∴ ，

N1N2min=

（4）解：如圖2，

過點(diǎn)P作PE⊥x軸，交AB于點(diǎn)E．

∵∠PQA=∠BAC

∴PQ1∥AC

∵菱形ABCD中，C（2，0），D（0，﹣1）

∴A（﹣2，0），B（0，1）

∴l(xiāng)AB：Y= x+1

不妨設(shè)P（m，﹣ （m﹣2）2），則E（m， m+1）

∴PE= m2﹣ m+2

∴當(dāng)m=1時(shí)，

此時(shí)，PQ1最小，最小值為 = ，

∴PQ1=PQ2=

【解析】（1）由拋物線頂點(diǎn)在x軸上，可得拋物線可設(shè)為y=a(x-h)2再由頂點(diǎn)坐標(biāo)C（2，0），點(diǎn)D（0，﹣1）利用待定系數(shù)法易得解析式為y=﹣ （x﹣2）2。
（2）由對稱易得BN1=BN2=BN，又AB=BC可得對應(yīng)邊成比例，又由對稱易得∠ABC=∠N1BN2可證△ABC∽△N1BN2。
（3）由（2）△ABC∽△N1BN2，由于三邊比不變，所以BN1最小時(shí)，可得N1N2最�。挥牲c(diǎn)與直線之間，垂線段最短，易得BN1⊥AD時(shí)最短，所以最后得證N1N2最小值。
（4）由所給條件∠PQA=∠BAC可得PQ1∥AC又已知菱形ABCD中，C（2，0），D（0，﹣1）可得A（﹣2，0），B（0，1）得到直線AB的解析式lAB：Y= x+1；若設(shè)P（m，﹣ （m﹣2）2），則可由點(diǎn)Q為直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)得E（m， m+1），則PE為縱坐標(biāo)的差PE= m2﹣ m+2；此時(shí)PQ1最小，易由三角函數(shù)可得PQ1=PQ2=

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．