Question

【題目】（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，在BC邊上是否存在點(diǎn)P，使∠APD＝90°，若存在，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)P并求出BP的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡）

（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC邊上的高，E、F分別為AB，AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD＝6時(shí)，BC邊上是否存在一點(diǎn)Q，使∠EQF＝90°，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）存在，3+.

【解析】試題分析：（1）以AD為直徑畫(huà)圓與BC交于點(diǎn)P1、P2，則點(diǎn)P1、P2為所求點(diǎn)；由矩形的性質(zhì)得到AD=BC=10，AB=CD=4根據(jù)三角形相似即可解出；

（2）由三角形的中位線得到EF∥BC，EF=BC=6，根據(jù)EF與BC間距離為3，推出以EF為直徑的 O與BC相切，得出BC上符合條件的點(diǎn)Q只有一個(gè)，記 O與BC相切于點(diǎn)Q，連接OQ，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，證出四邊形EOQG為正方形，由勾股定理即可求出．

解：（1）如圖①所示，點(diǎn)P1、P2為所求的點(diǎn)；（保留作圖痕跡）

在矩形ABCD中，連接AP1、DP1，AD=BC=10，AB=CD=4，

設(shè)BP1=x，則P1C=10﹣x，

∵∠AP1D=90°，∴∠AP1B+∠CP1D=90°，

∵∠BAP1+∠AP1B=90°，∴∠BAP1=∠CP1D，

又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP1∽△P1CD，

∴，∴，

解得：x1=2，x2=8，∴BP的長(zhǎng)是2或8

（2）如圖②，

∵EF分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，EF=BC=6，

∵AD=6，AD⊥BC，∴EF與BC間距離為3，

∴以EF為直徑的⊙O與BC相切，

∴BC上符合條件的點(diǎn)Q只有一個(gè)，記⊙O與BC相切于點(diǎn)Q，

連接OQ，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，

∴EG=OE=3，∴四邊形EOQG為正方形，

在Rt△EBG中，∠B=60°，EG=3，∴BG=，∴BQ=3+．