Question

16．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，把△ABP沿BP折疊，使A落在A′處，當(dāng)△A′DC為等腰三角形時(shí)，AP的長為$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或2．

Answer 1

分析 根據(jù)△A′DC為等腰三角形，分三種情況進(jìn)行討論：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分別求得AP的長，并判斷是否符合題意．

解答 解：①如圖，當(dāng)A′D=A′C時(shí)，過A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，則EF垂直平分CD，EF垂直平分AB
∴A'A=A'B
由折疊得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP
∴△ABA'是等邊三角形
∴∠ABP=30°
∴AP=$\frac{AB}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$；

②如圖，當(dāng)A'D=DC時(shí)，A'D=2
由折疊得，A'B=AB=2
∴A'B+A'D=2+2=4
連接BD，則Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∴A'B+A'D＜BD（不合題意）
故這種情況不存在；

③如圖，當(dāng)CD=CA'時(shí)，CA'=2
由折疊得，A'B=AB=2
∴A'B+A'C=2+2=4
∴點(diǎn)A'落在BC上的中點(diǎn)處
此時(shí)，∠ABP=$\frac{1}{2}$∠ABA'=45°
∴AP=AB=2．
綜上所述，當(dāng)△A′DC為等腰三角形時(shí)，AP的長為$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或2．

點(diǎn)評(píng) 本題以折疊問題為背景，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形進(jìn)行分類討論，分類時(shí)注意不能重復(fù)，不能遺漏．