【題目】如圖1,ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,D、F分別在AB、AC邊上,此時BD=CF,BDCF成立.

1)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θθ90°)時,如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

2)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時,如圖3,延長BDCF于點G, ACBG的交點為M.求證:EM:DM=CG:AC;

(3)(2)小題的條件下,當AB=4AD=時,求四邊形ABGF的面積.

【答案】1BD=CF成立,理由見解析;(2)見解析;(3

【解析】

1)根據(jù)△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,根據(jù)角邊角關系證出△BAD≌△CAF,根據(jù)全等三角形的對應邊相等,即可證得BDCF

2)先設BGAC于點M,根據(jù)(1)證出的△BAD≌△CAF,可得∠ABM=∠GCM,又根據(jù)對頂角相等,得出△BMA∽△CMG,再根據(jù)根據(jù)相似三角形的對應角相等,可得∠BGC=∠BAC90°,即可證出BDCF;

3)首先過點FFNAC于點N,利用勾股定理即可求得AE,BC的長,繼而求得AN,CN的長,又由等角的三角函數(shù)值相等,可求得AM的值,從而求出CM的值.

解(1BD=CF成立.

理由:∵△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,

AB=AC,AD=AF,∠BAC=DAF=90°

∵∠BAD=BAC﹣∠DAC,∠CAF=DAF﹣∠DAC,

∴∠BAD=CAF,

BADCAF中,

∴△BAD≌△CAFSAS

BD=CF

2)證明:設BGAC于點M

∵△BAD≌△CAF(已證),

∴∠ABM=GCM

∵∠BMA=CMG,

∴△BMA∽△CMG

,

AB=AC

(3)過點FFNAC于點N

∵在正方形ADEF中,AD=DE=,

AE==2,

AN=FN=AE=1

∵在等腰直角ABC 中,AB=4

CN=ACAN=3,BC==4,

∴在RtFCN中,tanFCN=

∴在RtABM中,tanABM==tanFCN=

AM=AB=,

EM=AEAM=4

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