Question

4．如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC=112°．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．
（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問(wèn)：直線ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒4°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為多少？
（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚骸螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)NO到D，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠MOB=∠MOC，等量代換得到∠COD=∠AOD，于是得到結(jié)論；
（2）分兩種情況：ON的反向延長(zhǎng)線平分∠AOC或射線ON平分∠AOC，分別根據(jù)角平分線的定義以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)∠MON=90°，∠AOC=68°，分別求得∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=68°-∠AON，再根據(jù)∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（68°-∠AON）進(jìn)行計(jì)算，即可得出∠AOM與∠NOC的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）平分，理由：延長(zhǎng)NO到D，
∵∠MON=90°∴∠MOD=90°  
∴∠MOB+∠NOB=90°，
∠MOC+∠COD=90°，
∵∠MOB=∠MOC，
∴∠NOB=∠COD，
∵∠NOB=∠AOD，
∴∠COD=∠AOD，
∴直線NO平分∠AOC；

（2）分兩種情況：
①如圖2，∵∠BOC=112°
∴∠AOC=68°，
當(dāng)直線ON恰好平分銳角∠AOC時(shí)，∠AOD=∠COD=34°，
∴∠BON=34°，∠BOM=56°，
即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為56°，
由題意得，4t=56°
解得t=14（s）；
②如圖3，當(dāng)NO平分∠AOC時(shí)，∠NOA=34°，
∴∠AOM=56°，
即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為：180°+56°=236°，
由題意得，4t=236°，
解得t=59（s），
綜上所述，t=14s或59s時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC；
（3）∠AOM-∠NOC=22°，
   理由：∵∠AOM=90°-∠AON∠NOC=68°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC
=（90°-∠AON）-（68°-∠AON）
=22°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了角的計(jì)算，關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．