Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣5與x軸交于A(﹣1，0)．B(5，0)兩點，與y軸交于點C．

(1)求此物線的解析式；

(2)在此物線的對稱軸上找一點M．使得MA+MC最小，請求出點M的坐標；

(3)在直線BC下方拋物線上是否存在點P，使得△PBC的面積最大？若存在．請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣5；（2）M(2，﹣3)；（3）存在，點P的坐標為(，)

【解析】

(1)把A(﹣1，0)、B(5，0)代入拋物線y＝ax2+bx﹣5求出a、b的值即可確定拋物線的關系式；

(2)由對稱可得，直線BC與對稱軸的交點就是所求的點M，求出直線BC的關系式和對稱軸方程，求出交點坐標即可；

(3)向下平移直線BC與拋物線有唯一公共點時，這個公共點就是要求的點M，于是利用平移后的直線關系式與拋物線關系式聯(lián)立，使其只有一個解時即可．

解：(1)把A(﹣1，0)、B(5，0)代入拋物線y＝ax2+bx﹣5得，

，

解得，a＝1，b＝﹣4，

∴拋物線的關系式為y＝x2﹣4x﹣5，

故答案為：y＝x2﹣4x﹣5；

(2)當x＝0時，y＝﹣5，

∴點C(0，﹣5)

設直線BC的關系式為y＝kx+b，

把點B、C坐標代入得，

，

解得，，

∴直線BC的關系式為y＝x﹣5，

∵拋物線的關系式為y＝x2﹣4x﹣5＝(x﹣2)2﹣9，

∴對稱軸為直線x＝2，

由對稱可得，直線BC與對稱軸x＝2交點就是所求的點M，

當x＝2時，y＝2﹣5＝﹣3，

∴點M(2，﹣3)時，MA+MC最小，

故答案為：M(2，﹣3)；

(3)向下平移直線BC，使平移后的直線與拋物線有唯一公共點P時，此時點P到BC的距離最大，因此△PBC的面積最大，

設將直線BC向下平移后的直線的關系式為y＝x﹣5﹣m，

則方程x2﹣4x﹣5＝x﹣5﹣m，有兩個相等的實數(shù)根，

即x2﹣5x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，

∴m＝，

當m＝時，方程x2﹣5x+m＝0的解為x＝，

把x＝代入拋物線的關系式得，y＝﹣4×﹣5＝﹣，

∴P(，﹣)

答：在直線BC下方拋物線上存在點P，使得△PBC的面積最大，此時點P的坐標為(，﹣)，

故答案為：P(，﹣)．