Question

17．如圖1，拋物線y=ax²+bx-3與y軸于點，與x軸交于A、B兩點，OB=3OA，∠ABC=45°
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖2，平移此拋物線使其頂點為坐標(biāo)原點，點M為y軸上一動點，MN與拋物線只有唯一公共點N點，點G在x軸上，∠GNM=∠OMN，求證：直線NG必過一定點，并求此定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求出點A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）設(shè)點M坐標(biāo)（0，b），直線MN解析式為y=kx+b，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$消去y得到x²-kx-b=0，由題意△=0，得到b=-$\frac{{k}^{2}}{4}$，求出線段MN的中垂線與y軸的交點即可解決問題．

解答 解：（1）由題意OC=OB=3，OA=1，
∴點A坐標(biāo)（-1，0），點B坐標(biāo)（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3．

（2）如圖2中，平移后的拋物線解析式為y=x²，

設(shè)點M坐標(biāo)（0，b），直線MN解析式為y=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$消去y得到x²-kx-b=0，由題意△=0，
∴k²+4b=0，
b=-$\frac{{k}^{2}}{4}$，
∴點M坐標(biāo)（0，-$\frac{{k}^{2}}{4}$），N（$\frac{k}{2}$，$\frac{{k}^{2}}{4}$），
線段MN中點G坐標(biāo)為（$\frac{k}{4}$，0），
設(shè)過點G垂直MN的直線的解析式為y=-$\frac{1}{k}$x+b′，把（$\frac{k}{4}$，0）代入得到b′=$\frac{1}{4}$，
∴該直線解析式為y=-$\frac{1}{k}$x+$\frac{1}{4}$，該直線與y軸交于點K（0，$\frac{1}{4}$），
連接KN，則有KM=KN，
∴∠KNM=∠KMO，∵∠GNM=∠OMN
∴點K在直線GN上，直線GN經(jīng)過定點（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、方程組等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，求出線段MN的中垂線與y軸的交點，是解題的突破點，屬于中考壓軸題．