Question

8．如圖，直線y=k₁x+b₁與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象及坐標軸依次相交于A、B、C、D四點，且點A坐標為（-3，$\frac{1}{2}$），點B坐標為（1，n）．
（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；
（2）求證：AC=BD；
（3）若將一次函數(shù)的圖象上下平移若干個單位后得到y(tǒng)=k₁x+n，其與反比例函數(shù)圖象及兩坐標軸的交點仍然依次為A、B、C、D．（2）中的結(jié)論還成立嗎？請寫出理由，對于任意k＜0的直線y=kx+b．（2）中的結(jié)論還成立嗎？（請直接寫出結(jié)論）

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出直線解析式和反比例函數(shù)解析式；
（2）確定出點A，B，C，D，坐標，利用兩點間距離公式求解得AC=BD；
（3）①確定出點A，B，C，D，坐標，利用兩點間距離公式求解得AC=BD；
②確定出點A，B，C，D，坐標，利用兩點間距離公式求解得AC=BD；

解答 解：（1）∵點A坐標為（-3，$\frac{1}{2}$），且在反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象上，
∴k₂=xy=-3×$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{3}{2x}$；
∵點B坐標為（1，n），且在反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象上，
∴n=-$\frac{3}{2}$，
∴點B坐標為（1，-$\frac{3}{2}$）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+_{1}=-\frac{3}{2}}\\{-3{k}_{1}+_{1}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{_{1}=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x-1；

（2）∵當x=0時，y=-1，則點D的坐標為：（0，-1）；
當y=0時，x=-2，則點C的坐標為：（-2，0）；
∴AC=$\sqrt{[-3-（-2）]^{2}+（\frac{1}{2}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BD=$\sqrt{（0-1）^{2}+[-1-（-\frac{3}{2}）]^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AC=BD；

（3）①成立，
理由：∵將一次函數(shù)的圖象上下平移若干個單位后得到y(tǒng)=k₁x+n，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+n，
∴C（2n，0），D（0，n），
∵反比例函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{3}{2x}$和一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+n，
∴它兩的交點坐標為A（n+$\sqrt{{n}^{2}+3}$，$\frac{1}{2}（n-\sqrt{{n}^{2}+3}）$），B（n-$\sqrt{{n}^{2}+3}$，$\frac{1}{2}（n+\sqrt{{n}^{2}+3}）$），
∴AC=$\sqrt{（n-\sqrt{{n}^{2}+3}）^{2}+（\frac{1}{2}（n-\sqrt{{n}^{2}+3}）^{2}}$，
BD=$\sqrt{（n-\sqrt{{n}^{2}+3}）^{2}+（\frac{1}{2}（n-\sqrt{{n}^{2}+3}）^{2}}$，
∴AC=BD
②AC=BD，
理由：同①的方法求出直線y=kx+b與x，y軸的交點坐標C（-$\frac{k}$，0），D（0，b），
聯(lián)立直線解析式和反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=-$\frac{3}{2x}$求出交點坐標A（$\frac{-b-\sqrt{^{2}-6k}}{2k}$，b+$\frac{-b-\sqrt{^{2}-6k}}{2}k$），B（$\frac{-b+\sqrt{^{2}-6k}}{2k}$，b+$\frac{-b+\sqrt{^{2}-6k}}{2}k$），
用平面坐標系內(nèi)，兩點間的距離公式求解得，AC=BD．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點間距離公式，解本題的關(guān)鍵求出直線和反比例函數(shù)的交點坐標．難點是用兩點間距離公式求解AC，BD．