Question

12．如圖，拋物線y=-ax²+bx+5過點（1，2）、（4，5），交y軸于點B，直線
AB經過拋物線頂點A，交x軸于點C，請解答下列問題：
（1）求拋物線的解析式；
（2）點O在平面內，在第一象限內是否存在點P，使以A，B，P，Q為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把已知點的坐標代入拋物線解析式即可求得a、b的值，可求得拋物線解析式；
（2）可先求得A、B兩點的坐標，可求得AB長度，分別過A、B兩點作AB的垂線，則點P可以在這兩條直線上，且PA=AB或PB=AB，分別求得兩垂線的解析式，設出點P的坐標，再根據線段相等可列出方程，可求得點P的坐標．

解答 解：
（1）∵拋物線y=-ax²+bx+5過點（1，2）、（4，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+b+5=2}\\{-16a+4b+5=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+5；
（2）在y=x²-4x+5中，令x=0可得y=5，
∴B（0，5），
∵y=x²-4x+5=（x-2）²+1，
∴A（2，1），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+（1-5）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
設直線AB解析式為y=kx+n，則有$\left\{\begin{array}{l}{2k+n=1}\\{n=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-2x+5，
①當PA⊥AB時，如圖1，

可設直線PA解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m，把A（2，1）代入可得1+m=1，解得m=0，
∴直線PA解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
∴可設點P坐標為（x，$\frac{1}{2}$x），
∴PA=$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{1}{2}x-1）^{2}}$，
∵四邊形PABQ為正方形，
∴PA=AB，即$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{1}{2}x-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得x=-2或x=6
∵點P在第一象限內，
∴x=-2不符合題意，舍去，故x=6，此時P點坐標為（6，3）；
②當PB⊥AB時，如圖2，

可設直線PB解析式為y=$\frac{1}{2}$x+s，把B（0，5）代入可得s=5，
∴直線PB解析式為y=$\frac{1}{2}$x+5，
∴可設P點坐標為（x，$\frac{1}{2}$x+5），
∴PB=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{2}x+5-5）^{2}}$，
同理可得$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{2}x+5-5）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得x=-4（舍去）或x=4，此時P點坐標為（4，7）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（6，3）或（4，7）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的性質、勾股定理、正方形的性質、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中注意待定系數法的應用步驟，在（2）中確定出P點的位置是解題的關鍵，注意利用正方形的性質列方程．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大．