Question

8．已知?ABCD中，直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，直線m不經(jīng)過B、C、D點(diǎn)，過B、C、D分別作BE⊥m于E，CF⊥m于F，DG⊥m于G．
（1）當(dāng)直線m旋轉(zhuǎn)到如圖1位置時(shí)，線段BE、CF、DG之間的數(shù)量關(guān)系是BE=CF+DG；
（2）當(dāng)直線m旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí)，線段BE、CF、DG之間的數(shù)量關(guān)系是CF=BE+DG；
（3）當(dāng)直線m旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BE、CF、DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）過C作CM⊥DG，交DG的延長線于點(diǎn)M，可證明△CDM≌△ABE，再利用線段的和差可求得結(jié)論；
（2）過D作DN⊥CF，交CF于點(diǎn)N，可證明△CDN≌△BAE，再利用線段的和差可求得結(jié)論；
（3）過C作CH⊥DG于H，可證明△CDH≌△ABE，再利用線段的和差可求得結(jié)論．

解答 解：
（1）如圖1，過C作CM⊥DG，交DG的延長線于點(diǎn)M，

∵DM⊥CM，CF⊥AF，CM⊥DG，
∴∠DMC=∠CFG=∠AEB=90°，
∴四邊形GFCM為矩形，
∴FG∥CM，F(xiàn)C=GM，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DOG=∠BAE=∠DCM，
在△CDM和△ABE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCM=∠ABE}\\{∠DMC=∠BEA}\\{CD=AB}\end{array}\right.$
∴△CDM≌△ABE（AAS），
∴DM=BE，
∴BE=DG+GM=CF+DG，
故答案為：BE=CF+DG；
（2）如圖2，過D作DN⊥CF，交CF于點(diǎn)N，延長CD交AF于點(diǎn)P，

∵DG⊥AF，CF⊥AF，
∴四邊形DGFN為矩形，
∴ND∥AF，且DG=NF，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，且AB∥CD，
∴∠CDN=∠DPG=∠BAE，
在△CDN和△BAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠BAE}\\{∠CND=∠BEA}\\{CD=AB}\end{array}\right.$
∴△CDN≌△BAE（AAS），
∴CN=BE，
∴CF=CN+DF=BE+DG，
故答案為：CF=BE+DG；
（3）猜想：DG=BE+CF；
證明：如圖3，過C作CH⊥DG于H，

又∵CF⊥m，DG⊥m，
∴四邊形CFGH是矩形，
∴CF=HG，
∵DG⊥m，BE⊥m，
∴∠DGE=∠BEG=90°，
∴DG∥BE，
∴∠ABE=∠AMG
∵□ABCD，
∴AD∥BC，CD=AB，
∴∠CDH=∠AMG，
∴∠CDH=∠ABE，
在△CDH和△ABE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDH=∠ABE}\\{∠DHC=∠AEB}\\{CD=AB}\end{array}\right.$
∴△CDH≌△ABE（AAS），
∴DH=BE，
∴DG=DH+HG=BE+CF，
∴DG=BE+CF．

點(diǎn)評 本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等．構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，注意利用線段的和差關(guān)系．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．