【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,4).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上,求四邊形AOCP面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),是否存在點(diǎn)Q,使A,B,C,Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)P(2,6),16;(3)存在,Q的坐標(biāo)為(﹣5,4)或(5,4)或(3,﹣4)
【解析】試題分析:(1)、將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入解析式,從而求出b和c的值,然后得出函數(shù)解析式;(2)、根據(jù)二次函數(shù)得出點(diǎn)B的坐標(biāo),根據(jù)題意可得要使△ACP的面積達(dá)到最大時(shí),經(jīng)過點(diǎn)P且與AC的平行直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),從而得出答案;(3)、分兩種情況來進(jìn)行討論:①以AB為邊時(shí),CQ∥AB,CQ=AB 過點(diǎn)C作平行于AB的直線l,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(d,4),則CQ=|d|,根據(jù)題意得出AB=5,從而得出d的值,得出點(diǎn)Q的坐標(biāo);②、以AB為對(duì)角線時(shí),CQ必過線段AB中點(diǎn),且被AB平分,即:AB的中點(diǎn)也是CQ的中點(diǎn),根據(jù)題意得出中點(diǎn)的坐標(biāo),得出直線CQ的解析式,設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)得出答案.
試題解析:(1)∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,4).
∴,∴, ∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+3x+4,
(2)如圖,
由(1)有,二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+3x+4, 令y=0,得x=4,或x=-1,∴B(-1,0)
連接AC,PA,PC,要使四邊形的面積最大,當(dāng)且僅當(dāng)的面積最大時(shí),
∴點(diǎn)P在平行于直線AC,且該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),S△PAC最大,
即:S四邊形AOCP最大;
∵A(4,0),C(0,4), ∴直線AC解析式為,
設(shè)與直線AC平行的直線解析式為,則
,∴
∴,∴,∴點(diǎn)P(2,6),
連接PO,過點(diǎn)P作PD⊥y軸,PG⊥x軸,則PD=2,PG=6,
∴.
(3)存在點(diǎn)Q,使A,B,C,Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形,
p>理由:①以AB為邊時(shí),CQ∥AB,CQ=AB 過點(diǎn)C作平行于AB的直線l,∵C(0,4),∴直線l解析式為y=4,∴點(diǎn)Q在直線l上, 設(shè)Q(d,4),∴CQ=|d|,
∵A(﹣4,0),B(1,0),∴AB=5,∴|d|=5,∴d=±5, ∴Q(﹣5,4)或(5,4),
②以AB為對(duì)角線時(shí),CQ必過線段AB中點(diǎn),且被AB平分,即:AB的中點(diǎn)也是CQ的中點(diǎn),
∵A(4,0),B(-1,0),∴線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),
∵C(0,4),∴直線CQ解析式為y=-x+4,設(shè)點(diǎn)Q(m,-m+4),
∴,∴m=0(舍)或m=3,∴Q(3,﹣4),
即:滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣5,4)或(5,4)或(3,﹣4).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)(﹣2,﹣3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A.(2,3)
B.(﹣2,3)
C.(﹣2,﹣3)
D.(2,﹣3)
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【題目】用反證法證明“在同面內(nèi),若a⊥c,b⊥c,則a∥b”時(shí)應(yīng)假設(shè)( 。
A. a不垂直于bB. a⊥b
C. a與b相交D. a,b不垂直于c
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象交于點(diǎn)P(n,2),與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),與y軸交于點(diǎn)C,PB丄x軸于點(diǎn)B,點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱.
(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式;
(2)求證:點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn);
(3)反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D,使四邊形BCPD為菱形,如果存在,說明理由并求出點(diǎn)D的坐標(biāo);如果不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的個(gè)數(shù)有( 。
①兩邊成比例且有一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;
②對(duì)角線相等的四邊形是矩形;
③任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形;
④兩個(gè)相似多邊形的面積比為2:3,則周長比為4:9.
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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【題目】下列說法中正確的是( )
A.“任意畫出一個(gè)等邊三角形,它是軸對(duì)稱圖象”是隨機(jī)事件
B.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次,正面向上的一定是5次
C.“概率為0.0001的事件”是不可能事件
D.“任意畫出一個(gè)平行四邊形,它是中心對(duì)稱圖形”是必然事件
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