【題目】已知OA=OB=4,∠AOB=60°,半⊙A的半徑為1,點(diǎn)C是半圓上任意一點(diǎn),連結(jié)OC,把OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6
0°到OD的位置,連結(jié)BD.
(1)如圖1,求證:AC=BD.
(2)如圖2,當(dāng)OC與半圓相切于點(diǎn)C時(shí),求CD的長.
(3)直接寫出△AOC面積的最大值.
【答案】(1)詳見解析;(2);(3)2.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件易證△OAC≌△DOB,由全等三角形的性質(zhì)即可得AC=BD;(2)根據(jù)勾股定理求得OC的長,再證明△COD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得CD的長;(3)當(dāng)h最大時(shí),S△AOC最大,即當(dāng)C在半圓A的中點(diǎn)時(shí),h最大,此時(shí)h=1,計(jì)算面積可得結(jié)論.
證明:(1)∵∠AOB=∠COD=60°
∴∠COA+∠AOD=∠BOD+∠AOD
∴∠COA=∠BOD
在△OAC和△OBD中,
∵
∴△OAC≌△DOB(SAS)
∴AC=BD;
(2)如圖2,∵OC是⊙A的切線,
∴AC⊥OC,∠OCA=90°,
在Rt△OCA中,由勾股定理得:OC2+AC2=OA2,
∴OC2+12=42,
∴OC=,
在△COD中,∵OC=OD,∠COD=60°,
∴△COD是等邊三角形,
∴CD=OC=;
(3)設(shè)點(diǎn)C到OA的距離為h,
∵S△AOC=OAh,
∵OA=4,
∴當(dāng)h最大時(shí),S△AOC最大,即當(dāng)C在半圓A的中點(diǎn)時(shí),h最大,此時(shí)h=1,
∴S△AOC=OAh==2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,,點(diǎn)從開始沿折線以的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)從開始沿邊以的速度移動(dòng),如果點(diǎn)、分別從、同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,當(dāng)________時(shí),四邊形也為矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,為的中點(diǎn),連接并延長交的延長線于點(diǎn),P是AD的中點(diǎn).
(1)求證:四邊形ABFC是平行四邊形;
(2)當(dāng)與滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),四邊形AECP是菱形,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°.
(1)作出經(jīng)過點(diǎn)B,圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點(diǎn)E的⊙O(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明)
(2)設(shè)(1)中所作的⊙O與邊AB交于異于點(diǎn)B的另外一點(diǎn)D,若⊙O的直徑為5,BC=4;求DE的長.(如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形,可畫出草圖完成(2)問)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,稱此拋物線為定弦拋物線,已知某定弦拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,將此拋物線向右平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,得到的拋物線過點(diǎn)( 。
A. (3,6) B. (3,﹣2) C. (3,1) D. (3,2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC是等腰三角形,AB=AC.
(1)特殊情形:如圖1,當(dāng)DE∥BC時(shí),有DB EC.(填“>”,“<”或“=”)
(2)發(fā)現(xiàn)探究:若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)到圖2位置,則(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(3)拓展運(yùn)用:如圖3,P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】釣魚島是我國的神圣領(lǐng)土,中國人民維護(hù)國家領(lǐng)土完整的決心是堅(jiān)定的,多年來,我國的海監(jiān)、漁政等執(zhí)法船定期開赴釣魚島巡視.某日,我海監(jiān)船(A處)測得釣魚島(B處)距離為20海里,海監(jiān)船繼續(xù)向東航行,在C處測得釣魚島在北偏東45°的方向上,距離為10海里,求AC的距離.(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x1、x2是方程x2﹣(k﹣2)x+k2+3k+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則x12+x22的最大值是( 。
A. 19 B. 18 C. 15 D. 13
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖甲,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2,PB=,PC=1,求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長.
解題思路是:將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,如圖乙所示,連接PP′.
(1)△P′PB是 三角形,△PP′A是 三角形,∠BPC= °;
(2)利用△BPC可以求出△ABC的邊長為 .
如圖丙,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=,BP=,PC=1;
(3)求∠BPC度數(shù)的大小;
(4)求正方形ABCD的邊長.
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