Question

2．在平面直角坐標系中，O為原點，點A（0，2），B（1，1）
（1）若點P（m，$\frac{3}{2}$）在線段AB上，求點P的坐標；
（2）以點O，A，B，C（1，0）為頂點的四邊形，被直線y=kx-k（k＜0）分成兩部分，設(shè)靠近原點的一側(cè)的面積為s，求s關(guān)于k的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法可求求出直線AB的解析式，將點P的坐標代入直線AB的解析式中即可求出m值，由此即可得出點P的坐標；
（2）由y=kx-k=k（x-1）可知直線y=kx-k過點C（1，0），分0＞k≥-2和k＜-2兩種情況考慮，利用三角形、梯形的面積結(jié)合分割圖形求面積法即可得出s關(guān)于k的函數(shù)解析式．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（0，2）、B（1，1）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+2．
∵點P（m，$\frac{3}{2}$）在線段AB上，
∴$\frac{3}{2}$=-m+2，
解得：m=$\frac{1}{2}$．
∴點P的坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
（2）依照題意畫出圖形，如圖所示．
∵y=kx-k=k（x-1），
∴直線y=kx-k過點C（1，0）．
①當-k≤2，即0＞k≥-2時，設(shè)直線y=kx-k與y軸的交點為E，
則點E的坐標為（0，-k），
此時s=$\frac{1}{2}$OC•OE=$\frac{1}{2}$×1×（-k）=-$\frac{1}{2}$k；
②當-k＞2，即k＜-2時，設(shè)直線y=kx-k與線段AB的交點為F，
聯(lián)立直線CF、AB的解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k+2}{k+1}}\\{y=\frac{k}{k+1}}\end{array}\right.$，
∴點F的坐標為（$\frac{k+2}{k+1}$，$\frac{k}{k+1}$），
此時s=$\frac{1}{2}$OC•（OA+BC）-$\frac{1}{2}$BC•（x_B-x_F）=$\frac{1}{2}$×1×（2+1）-$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{k+2}{k+1}$）=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2（k+1）}$．
綜上所述：s關(guān)于k的函數(shù)解析式為s=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}k（-2≤k＜0）}\\{\frac{3}{2}+\frac{1}{2（k+1）}（k＜-2）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及梯形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；（2）分0＞k≥-2和k＜-2兩種情況考慮．