Question

11．如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AF⊥AE交DE于點F，已知AE=AF=1，BF=$\sqrt{5}$
（1）求證：△AEB≌△AFD；
（2）試判斷EB與ED的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）求△AEB的面積．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠BAD=90°，由于AE⊥AF，得到∠EAF=90°，于是得到∠EAB=∠FAD，即可證得△AEB≌△AFD；
（2）由△AEB≌△AFD，得到∠AFD=∠AEB，由于∠AEB=∠AEF+∠BEF，∠AFD=∠AEF+∠FAE，于是得到結(jié)論；
（3）如圖，過點B作BF⊥AF，交AE延長線于點F．根據(jù)△AEP為等腰直角三角形，得到∠AEP=45°，由于∠DEB=90°，得到∠FEB=45°，于是得到△EF′B為等腰角三角形，于是得到FE的長，再由勾股定理得到BE的長，進(jìn)而求出BF′的長，利用三角形面積公式即可求出△AEB的面積．

解答 解：
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAB=∠FAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD；
（2）證明：∵△AEB≌△AFD；，
∴∠AFD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEF+∠BEF，∠AFD=∠AEF+∠FAE，
∴∠BEF=∠FAE=90°，∴BE⊥DE；
（3）如圖，過點B作BF′⊥AF′，交AE延長線于點F′．
∵△AEF為等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
又∵∠DEB=90°，
∴∠F′EB=45°，
∵∠EF′B=90°，
∴△EF′B為等腰直角三角形，
∵FB=$\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$
∴EF′=BF′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴△AEB的面積=$\frac{1}{2}$AE•BF′=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理是解題的首要條件；正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．