Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分線．以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O．
（1）求證：AB是⊙O的切線．
（2）已知AO交⊙O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，tanD=$\frac{1}{2}$，求$\frac{AE}{AC}$的值．
（3）在（2）的條件下，設(shè)⊙O的半徑為3，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由于題目沒有說明直線AB與⊙O有交點(diǎn)，所以過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，然后證明OC=OF即可；
（2）連接CE，先求證∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{CE}{CD}$，而tan∠D=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$；
（3）由（2）可知，AC²=AE•AD，所以可求出AE和AC的長(zhǎng)度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以$\frac{BF}{BC}=\frac{OF}{AC}$，然后利用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)度．

解答 （1）如圖，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切線；

（2）如圖，連接CE，
∵ED是⊙O的直徑，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{CE}{CD}$，
∵tan∠D=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$；

（3）由（2）可知：$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)AE=x，AC=2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
∴AC²=AE•AD，
∴（2x）²=x（x+6），
解得：x=2或x=0（不合題意，舍去），
∴AE=2，AC=4，
由（1）可知：AC=AF=4，
∠OFB=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△OFB∽△ACB，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{OF}{AC}$，
設(shè)BF=a，
∴BC=$\frac{4a}{3}$，
∴BO=BC-OC=$\frac{4a}{3}$-3，
在Rt△BOF中，
BO²=OF²+BF²，
∴（$\frac{4a}{3}$-3）²=3²+a²，
∴解得：a=$\frac{72}{7}$或a=0（不合題意，舍去），
∴AB=AF+BF=$\frac{100}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是證明△ACE∽△ADC．本題涉及勾股定理，解方程，圓的切線判定知識(shí)，內(nèi)容比較綜合，需要學(xué)生構(gòu)造輔助線才能解決問題，對(duì)學(xué)生綜合能力要求較高．