Question

9．已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC和CD上，∠BAE=∠DAF．聯結AC交EF于點O，延長OC至點M，聯結EM、FM．
（1）如果OM=OA，求證：四邊形AEMF是菱形；
（2）如果∠MEC=15°，求證：△MEF是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）先判定△AEF是等腰三角形，再判定四邊形AEMF是平行四邊形，即可得出四邊形AEMF是菱形；
（2）先根據等腰三角形AEF中，AO垂直平分EF，得出△EFM是等腰三角形，再求得∠FEM=60°，即可得出△MEF是等邊三角形．

解答 證明：（1）∵∠BAE=∠DAF，AD=AB，∠D=∠B，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（ASA），
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形，
∵正方形ABCD中，∠BAO=∠DAO=45°，∠BAE=∠DAF，
∴∠EAO=∠FAO，即AO平分∠EAF
∴EO=FO，
又∵OM=OA，
∴四邊形AEMF為平行四邊形，
又∵AE=AF，
∴四邊形AEMF是菱形；

（2）由（1）可知，等腰三角形AEF中，AO垂直平分EF，
∴ME=MF，且∠EOC=90°，
∵正方形ABCD中，∠OCE=45°
∴∠OEC=45°，
∵∠MEC=15°，
∴∠OEM=60°，
∴△MEF是等邊三角形．

點評 本題主要考查了菱形的判定與等邊三角形的判定，解決問題的關鍵是運用正方形的性質以及等腰三角形三線合一的性質．在證明題中，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．