Question

9．已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，∠BAE=∠DAF．聯(lián)結(jié)AC交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)EM、FM．
（1）如果OM=OA，求證：四邊形AEMF是菱形；
（2）如果∠MEC=15°，求證：△MEF是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）先判定△AEF是等腰三角形，再判定四邊形AEMF是平行四邊形，即可得出四邊形AEMF是菱形；
（2）先根據(jù)等腰三角形AEF中，AO垂直平分EF，得出△EFM是等腰三角形，再求得∠FEM=60°，即可得出△MEF是等邊三角形．

解答 證明：（1）∵∠BAE=∠DAF，AD=AB，∠D=∠B，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（ASA），
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形，
∵正方形ABCD中，∠BAO=∠DAO=45°，∠BAE=∠DAF，
∴∠EAO=∠FAO，即AO平分∠EAF
∴EO=FO，
又∵OM=OA，
∴四邊形AEMF為平行四邊形，
又∵AE=AF，
∴四邊形AEMF是菱形；

（2）由（1）可知，等腰三角形AEF中，AO垂直平分EF，
∴ME=MF，且∠EOC=90°，
∵正方形ABCD中，∠OCE=45°
∴∠OEC=45°，
∵∠MEC=15°，
∴∠OEM=60°，
∴△MEF是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了菱形的判定與等邊三角形的判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用正方形的性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)．在證明題中，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．