Question

17．問題情境：
如圖1，已知△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，CD=CE=1，點D在AC邊上，點E在BC延長線上，將△DCE從此位置開始繞C點順時針旋轉，旋轉角是α（0°＜α＜180°）
操作發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖2，當旋轉角α=45°時，連接AD．求證：四邊形ACED是平行四邊形；
 （2）如圖3，當°＜α＜90°時，連接BD，AE，判斷線段BD與AE的數(shù)量關系，并說明理由；
解決問題：
（3）如圖3，當0°＜α＜180°時，連接AD，點F，G，H分別是線段AB，AD，DE的中點，連接FG，GH，F(xiàn)H，在△CDE旋轉的過程中，AE與BD的數(shù)量關系是AE=BD．所以△FGH始終是一個特殊三角形，當旋轉角α=135°時，△FGH的面積是$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 分析：（1）用∠ACD=∠EDC=45°，說明AD∥CE，用勾股定理說明AD=CE，再證明平行四邊形；
（2）利用“邊角邊”證明△BCD與△ACE全等，說明兩條線段BD=AE；
（3）證明△BCD≌△ACE，說明BD=AE，利用角間關系說明BD⊥AE，先求出BD的長，再利用中位線定理計算線段FG與△FGH的面積．

解答 解：（1）證明：在RT△DCE中，∵DC=CE=1，
∴DE=$\sqrt{2}$，
∴AC=DE，
∵∠ACD=∠EDC=45°，
∴DE∥AC，
∴四邊形ACDE是平行四邊形．
（2）BD=AE．
如圖，

理由：∵∠ABC=∠DCE=90°，
∴∠ABC+α=∠DCE+α，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠}\\{DC=EC}\end{array}\right.ACE$
∴△BCD≌△ACE，
∴BD=AE．
（3）如圖：

∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ABC+α=∠DCE+α，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠}\\{DC=EC}\end{array}\right.ACE$
∴△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
∵（∠CAB+∠CAE）+（∠CBA-∠CBD）=∠CAB+∠CBA=90°，
∴BD⊥AE；
∵F、G、H分別是AB、AD、DE的中點，
∴FG∥BD，GH∥AE，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD=GH=$\frac{1}{2}$AE，
∴△GFH是等腰直角三角形，
當α=135°時，∠BCD=360°-∠ACB-∠ACD=135°，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-BD×CD×cos∠BCD，
∵BC=$\sqrt{2}$，CD=1，cos135°=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BD²=2+1-$\sqrt{2}$×1×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=5，
∴BD=$\sqrt{5}$，F(xiàn)G=GH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在RT△FGH中，S_△FGH=$\frac{1}{2}$×FG×GH=$\frac{5}{8}$．
答案：BD=AE；BD⊥AE；$\frac{5}{8}$．

點評 點評：本題是一道與四邊形相關的綜合性題目，考察的知識點有：平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，以及旋轉、三角形的中位線等相關知識．計算三角形的面積，利用余弦定理求CD是關鍵．