Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+b分別與x軸、y軸交于點A，B，且點A坐標為（8，0），點C為AB的中點．
（1）求點B的坐標．
（2）點P為直線AB上的一個動點，過點P作x軸的垂線，與直線OC交于點Q，設點P的橫坐標為m，線段PQ的長度為d，求d與m的函數(shù)解析式（請直接寫出自變量m的取值范圍）
（3）當點P在線段AB（點M不與A，B重合）上運動時，在坐標系第一象限內是否存在一點N，使得以O，B，P，N為頂點的四邊形為菱形，存在求出N點坐標，不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A坐標帶入直線AB解析式中求出b值，從而得出直線AB的解析式，再令直線AB的解析式中x=0求出y值，即可得出點B的坐標；
（2）根據(jù)A、B點的坐標求出點C的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線OC的解析式，找出點P、Q的坐標，由此即可得出d與m的函數(shù)解析式；
（3）假設存在，設點P的坐標為（n，-$\frac{3}{4}$n+6）（0＜n＜8）．分兩種情況，分別以BP、OP為對角線做菱形，畫出圖形（由此可排除OP為對角線的菱形不存在），根據(jù)菱形的性質找出點P、N的坐標即可得出結論．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{3}{4}$x+b過點A（8，0），
∴0=-6+b，解得：b=6，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6．
令y=-$\frac{3}{4}$x+6中x=0，則y=6，
∴點B的坐標為（0，6）．
（2）依照題意畫出圖形，如圖3所示．
∵A（8，0），B（0，6），且點C為AB的中點，
∴C（4，3）．
設直線OC的解析式為y=kx（k≠0），
則有3=4k，解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴直線OC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x．
∵點P在直線AB上，點Q在直線OC上，點P的橫坐標為m，PQ⊥x軸，
∴P（m，-$\frac{3}{4}$m+6），Q（m，$\frac{3}{4}$m）．
當m＜4時，d=-$\frac{3}{4}$m+6-$\frac{3}{4}$m=-$\frac{3}{2}$m+6；
當m＞4時，d=$\frac{3}{4}$m-（-$\frac{3}{4}$m+6）=$\frac{3}{2}$m-6．
故d與m的函數(shù)解析式為d=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}m+6（m＜4）}\\{\frac{3}{2}m-6（m＞4）}\end{array}\right.$，
（3）假設存在，設點P的坐標為（n，-$\frac{3}{4}$n+6）（0＜n＜8）．
∵點P在第一象限，
∴以O，B，P，N為頂點的四邊形為菱形有兩種情況：
①以BP為對角線時，如圖4所示．
∵四邊形OPNB為菱形，B（0，6），
∴OP=OB=6=$\sqrt{{n}^{2}+（-\frac{3}{4}n+6）^{2}}$，
解得：n=$\frac{144}{25}$或n=0（舍去），
∴點P（$\frac{144}{25}$，$\frac{42}{25}$），
∴點N（$\frac{144}{25}$+0-0，6+$\frac{42}{25}$-0），即（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）；
②以OP為對角線時，如圖5所示．
此時點P在第一象限，但點N在第四象限，故此種情況不合適．
綜上得：當點P在線段AB（點M不與A，B重合）上運動時，在坐標系第一象限內存在一點N，使得以O，B，P，N為頂點的四邊形為菱形，N點坐標為（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及菱形的性質，解題的關鍵是：（1）求出b值；（2）找出點P、Q的坐標；（3）確定點P、N的位置．本題屬于中檔題，難度不大，第（3）小問是該題的難點，在考慮菱形時需要分類討論，哪怕那種情況不存在也需要說明理由．