Question

19．如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BE-ED-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s．若P，Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPQ的面積為y（cm²）．已知y與t的函數(shù)圖象如圖2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

• A． 當(dāng)t=11s時(shí)，y=40cm²
• B． BE=10cm
• C． 當(dāng)0≤t≤10時(shí)，y=$\frac{2}{5}$t²
• D． 當(dāng)t=16s時(shí)，∠PBQ=30°

Answer 1

分析 根據(jù)圖象可以得到10≤t≤14s時(shí)，y=40cm²，從而可以判斷A；
根據(jù)圖象可以得到BC和BE的長(zhǎng)度，從而可以判斷B；
根據(jù)函數(shù)圖象可以求得在0＜t≤10時(shí)，求得△BPQ底邊BQ上的高，從而可以得到△BPQ的面積，從而可以判斷C；
根據(jù)題意可以求得在t=16s時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊DC上，與D點(diǎn)相距2cm，在Rt△PBQ中利用三角函數(shù)定義求解，從而判斷D．

解答 解：A、由圖2可知，當(dāng)t=11s時(shí)，y=40cm²，故A正確；
B、由圖象可知，BC=BE=10cm，故B正確；
C、作EF⊥BC于點(diǎn)F，作PM⊥BQ于點(diǎn)M，如下圖所示，

由圖象可知，三角形PBQ的最大面積為40，
∴$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$×10•EF=40，
解得EF=8，
當(dāng)0＜t≤10時(shí)，△BMP∽△BFE，
∴$\frac{PM}{EF}$=$\frac{BP}{BE}$，即$\frac{PM}{8}$=$\frac{t}{10}$，
解得PM=$\frac{4}{5}$t，
∴△BPQ的面積=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}$t²，
即y=$\frac{2}{5}$t²，故C正確；
D、當(dāng)t=16s時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，
由圖象可知，DE=14-10=4，
所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊DC上，且DP=2cm，如下圖所示，

在Rt△PBQ中，PC=DC-DP=8-2=6，BC=10，
∴BP=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+1{0}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
∴sin∠PBQ=$\frac{PC}{BP}$=$\frac{6}{2\sqrt{34}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$≠$\frac{1}{2}$，
∴∠PBQ≠30°，故D錯(cuò)誤；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所求問(wèn)題需要的條件．