Question

18．如圖，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，M為AB中點，在AC上任取一點P（與點A、C不重合），連接PM，過點M作MQ⊥MP于點Q，連接PQ．
（1）畫出點P關于點M對稱的點N，連接BN，說明BN與AC所在直線的位置關系；
（2）問：以線段AP、PQ、QB為邊，能否構成直角三角形？簡要說明理由；
（3）設CQ=a、BQ=b，試用含a、b的代數(shù)式表示△PMQ的面積．

Answer 1

分析 （1）延長PM到N使得MN=PM即可．連接AN、PB只要證明四邊形APBN是平行四邊形即可解決問題．
（2）首先證明△QBN是直角三角形，再證明QN=PQ，AP=BN即可．
（3）首先證明△MAP≌△MCQ，得到ABN=CQ，PM=MQ，求出QN即可．

解答 解：（1）點P關于點M對稱的點N如圖所示，BN與AC所在直線的位置關系：BN∥AC．
理由：連接AN、PB，
∵AM=MB，PM=MN，
∴四邊形APBN是平行四邊形，
∴BN∥PA，即BN∥AC．

（2）以線段AP、PQ、QB為邊，能構成直角三角形．
理由：∵四邊形APBN是平行四邊形，
∴PA=BN，PA∥BN，
∴∠PAB=∠ABC，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠NBA=45°，
∴∠QBN=90°
∵PM=MN，QM⊥PN，'∴PQ=QN，
∵△QBN是直角三角形，
∴以線段AP、PQ、QB為邊，能構成直角三角形．

（3）∵AC=CB，∠ACB=90°，AM=BM，
∴CM=AM=BM，∠CAB=∠MCQ=45°，
∵∠AMC=∠PMQ，
∴∠AMP=∠CMQ，
在△MAP和△MCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAP=∠MCQ}\\{AM=CM}\\{∠AMP=∠CMQ}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△CMQ，
∴AP=CQ=BN，PM=MQ，
∴QN=PQ=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，△PMQ是等腰直角三角形，
∴S_△PMQ=$\frac{1}{4}$•PQ²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{4}$

點評 本題考查三角形綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形，屬于中考常考題型．