【題目】如圖,△ABC內接于⊙O, BC是⊙O 的直徑,點A是⊙O上的定點,AD平分∠BAC交⊙O于點D,DG∥BC,交AC延長線于點G.
(1)求證:DG與⊙O相切;
(2)作BE⊥AD于點E,CF⊥AD于點F,試判斷線段BE,CF、EF三者之間的數量關系,并證明你的結論(不用尺規(guī)作圖的方法補全圖形).
【答案】(1)見解析;(2)BE=CF+EF,理由見解析。
【解析】
(1)由AD平分∠BAC得到,再由垂徑定理可得DO⊥BC,并進一步得出DG與⊙O相切;
(2)作BE⊥AD于點E,CF⊥AD于點F,連接BD,CD.先證明△BDE≌△DCF,再由全等三角形的性質可得出BE=CF+EF.因點A是⊙O上的定點,故只需考慮圖中情況,不用考慮BE=CF-EF時的情況.
(1)證明:如圖,連接DO并延長到圓上一點N
∵AD平分∠BAC交⊙O于點D,
∴∠BAD=∠DAC,
∴DO⊥BC,
∵DG∥BC,
∴∠GDO=90°,
∴DG與⊙O相切;
(2)BE=CF+EF,理由如下:
如圖,作BE⊥AD于點E,CF⊥AD于點F,連接BD,CD.
∴∠BED=∠DFC=90°
∵BC是直徑,,
∴BD=CD, ∠BDC=90°,
∴∠BDE=∠DCF
在△BDE和△DCF中,
∴△BDE≌△DCF(AAS)
∴DE=CF,BE=DF
∵DF=DE+EF
∴BE=CF+EF
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【題目】如圖,已知正方形ABCD中,點E是BC上的一個動點,EF⊥AE交CD于點F,以AE,EF為邊作矩形AEFG,若AB=4,則點G到AD距離的最大值是________.
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【題目】如圖,△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形,底邊BC、CE、EG在同一直線上,且AB= ,BC=1,連結BF,分別交AC、DC、DE于點P、Q、R.
(1)求證:△BFG∽△FEG
(2)求sin∠FBG的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,過點A的直線l分別與x軸、y軸交于點C,D.
(1)求直線l的函數表達式.
(2)P為x軸上一點,若△PCD為等腰三角形直接寫出點P的坐標.
(3)將線段AB繞B點旋轉90°,直接寫出點A對應的點A的坐標.
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【題目】如圖,已知:在矩形ABCD中,O為AC的中點,直線l經過點B,且直線l繞著點B旋轉,AM⊥l于點M,CN⊥l于點N,連接OM,ON
(1)當直線l經過點D時,如圖1,則OM、ON的數量關系為 ;
(2)當直線l與線段CD交于點F時,如圖2(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由;
(3)當直線l與線段DC的延長線交于點P時,請在圖3中作出符合條件的圖形,并判斷(1)中的結論是否仍然成立?不必說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,點A(-2,m)繞坐標原點O順時針旋轉90°后,恰好落在圖中⊙P中的陰影區(qū)域(包括邊界)內,⊙P的半徑為1,點P的坐標為(3,2),則m的取值范圍是______.
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【題目】小婷家與學校之間是一條筆直的公路,小婷從家步行前往學校的途中發(fā)現忘記帶昨天的回家作業(yè)本,便向路人借了手機打給媽媽,媽媽接到電話后,帶上作業(yè)本馬上趕往學校,同時小婷沿原路返回兩人相遇后,小婷立即趕往學校,媽媽沿原路返回家,并且小婷到達學校比媽媽到家多用了5分鐘,若小婷步行的速度始終是每分鐘100米,小婷和媽媽之間的距離y與小婷打完電話后步行的時間x之間的函數關系如圖所示
媽媽從家出發(fā)______分鐘后與小婷相遇;
相遇后媽媽回家的平均速度是每分鐘______米,小婷家離學校的距離為______米
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【題目】如圖,為了測量建筑物AC的高度,從距離建筑物底部C處50米的點D(點D與建筑物底部C在同一水平面上)出發(fā),沿坡度i=1:2的斜坡DB前進10米到達點B,在點B處測得建筑物頂部A的仰角為53°,求建筑物AC的高度.(結果精確到0.1米.參考數據:sin53°≈0.798,cos53°≈0.602,tan53°≈1.327.)
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【題目】如圖,已知A(n,﹣2),B(1,4)是一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=的圖象的兩個交點,直線AB與y軸交于點C.
(1)求反比例函數和一次函數的解析式;
(2)求△AOC的面積.
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