8.如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點,BE⊥AC,垂足為點F,分析下列四個結(jié)論:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③S△AEF:S△CAB=1:4;④AF2=2EF2.其中正確的結(jié)論有(  )
A.4個B.3個C.2個D.1個

分析 ①根據(jù)四邊形ABCD是矩形,BE⊥AC,可得∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB,故①正確;
②根據(jù)點E是AD邊的中點,以及AD∥BC,得出△AEF∽△CBF,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例,可得CF=2AF,故②正確;
③根據(jù)△AEF∽△CBF得到EF與BF的比值,據(jù)此求出S△AEF=$\frac{1}{2}$S△ABF,S△AEF=$\frac{1}{4}$S△BCF,可得S△AEF:S△CAB=1:6,故③錯誤;
④根據(jù)AA可得△AEF∽△BAF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AF2=2EF2,故④正確.

解答 解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,
∴∠EAC=∠ACB,
∵BE⊥AC,
∴∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正確;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$,
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC,
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$,
∴CF=2AF,故②正確;
∵△AEF∽△CBF,
∴EF:BF=1:2,
∴S△AEF=$\frac{1}{2}$S△ABF,S△AEF=$\frac{1}{4}$S△BCF
∴S△AEF:S△CAB=1:6,故③錯誤;
∵△AEF∽△CAB,
∴∠AEF=∠BAF,
∵∠AFE=∠BFA=90°,
∴△AEF∽△BAF,
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{AF}{BF}$,
AF2=EF•BF=2EF2,故④正確.
故選:B.

點評 本題屬于四邊形綜合題,主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì),圖形面積的計算的綜合應(yīng)用,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.解題時注意,相似三角形的對應(yīng)邊成比例.

練習冊系列答案
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19.解下列方程:
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20.閱讀理解.
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(2)求(-a)3+(b+4)2的平方根,提示:($\sqrt{17}$)2=17.

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17.如圖①所示是一個長為2m,寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形,然后按圖②的方式拼成一個正方形.
(1)請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積.
方法①(a-b)2
方法②(a+b)2-4ab.
(2)由(1)你能得出怎樣的等量關(guān)系?(a-b)2=(a+b)2-4ab.
(3)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:若a+b=6,ab=5,則求a-b.

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