A. | 4個 | B. | 3個 | C. | 2個 | D. | 1個 |
分析 ①根據(jù)四邊形ABCD是矩形,BE⊥AC,可得∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB,故①正確;
②根據(jù)點E是AD邊的中點,以及AD∥BC,得出△AEF∽△CBF,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例,可得CF=2AF,故②正確;
③根據(jù)△AEF∽△CBF得到EF與BF的比值,據(jù)此求出S△AEF=$\frac{1}{2}$S△ABF,S△AEF=$\frac{1}{4}$S△BCF,可得S△AEF:S△CAB=1:6,故③錯誤;
④根據(jù)AA可得△AEF∽△BAF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AF2=2EF2,故④正確.
解答 解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,
∴∠EAC=∠ACB,
∵BE⊥AC,
∴∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正確;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$,
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC,
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$,
∴CF=2AF,故②正確;
∵△AEF∽△CBF,
∴EF:BF=1:2,
∴S△AEF=$\frac{1}{2}$S△ABF,S△AEF=$\frac{1}{4}$S△BCF,
∴S△AEF:S△CAB=1:6,故③錯誤;
∵△AEF∽△CAB,
∴∠AEF=∠BAF,
∵∠AFE=∠BFA=90°,
∴△AEF∽△BAF,
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{AF}{BF}$,
AF2=EF•BF=2EF2,故④正確.
故選:B.
點評 本題屬于四邊形綜合題,主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì),圖形面積的計算的綜合應(yīng)用,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.解題時注意,相似三角形的對應(yīng)邊成比例.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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