Question

10．如圖，已知矩形OABC中，點(diǎn)A（2，0）、C（0，1）．點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，雙曲線(xiàn)y=$\frac{k}{x}$過(guò)點(diǎn)D交AB于點(diǎn)G，直線(xiàn)AC交DE于點(diǎn)F，連接DG、FG．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求k的值與直線(xiàn)AC的解析式；
（3）求四邊形DCFG的面積．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義容易得出結(jié)果；
（2）由點(diǎn)D的證明求出k的值，由待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AC的解析式即可；
（3）由矩形的性質(zhì)得出BC=OA，BC∥OA，AB=OC=1，求出G點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$），得出G是AB的中點(diǎn)，證明四邊形DCFG是平行四邊形，即可求出面積．

解答 解：（1）∵矩形OABC中，點(diǎn)A（2，0）、C（0，1），點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴D（1，1），
（2）∵點(diǎn)D在雙曲線(xiàn)y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=1×1=1，
∴反比例函數(shù)的解析式為；y=$\frac{1}{x}$．
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=ax+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1；
（3）∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A（2，0），
∴BC=OA，BC∥OA，AB=OC=1，
當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{1}{2}$，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$），
∴G是AB的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，DE⊥OA，
∴E是OA的中點(diǎn)，
∴CD=AE，
∵BC∥OA，
∴DF：EF=CD：AE=1：1，
∴DF=EF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$，
∴FG∥CD，F(xiàn)G=AE=CD，
∴四邊形DCFG是平行四邊形，
∴四邊形DCFG的面積=CD•DF=1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，求出函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．