Question

13．如圖1，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，且AD=4，AB=3．
如圖2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)也以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿矩形ABCD的邊AB經(jīng)過點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，矩形ABCD和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D、點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出△PBD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍；
（3）點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，當(dāng)△PEO與△BCD相似時(shí)，求出相應(yīng)的t值．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)CD交x軸于M，延長(zhǎng)BA交x軸于N，則CM⊥x軸，BN⊥x軸，AD∥x軸，BN∥DM，由矩形的性質(zhì)得出和勾股定理求出BD，BO=15，由平行線得出△ABD∽△NBO，則利用相似比求出BN、NO，得出OM、DN、PN，即可得出點(diǎn)D、P的坐標(biāo)；
（2）分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，BP=6-t，由三角形的面積公式得出S=$\frac{1}{2}$BP•AD；當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，BP=t-6，同理得出S=$\frac{1}{2}$BP•AB；即可得出結(jié)果；
（3）先利用待定系數(shù)法法求出直線OB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x，設(shè)點(diǎn)D（m，-$\frac{3}{4}$m），而OD=t，利用勾股定理得到m²+（-$\frac{3}{4}$m）²=t，解得m=-$\frac{4}{5}$t，所以D（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t），然后分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，P（-$\frac{4}{5}$t-4，$\frac{3}{5}$t+t），即P（-$\frac{4}{5}$t-4，$\frac{8}{5}$t）（0≤t≤3），若△PEO∽△BCD，則PE：BC=OE：CD，若△PEO∽△DCB，則PE：DC=OE：BC，再利用相似比求出滿足條件的t的值；當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，先確定P（-7+$\frac{1}{5}$t，$\frac{3}{5}$t+3），
若△PEO∽△BCD，則PE：BC=OE：CD，若△PEO∽△DCB，則PE：DC=OE：BC，再利用相似比求出滿足條件的t的值．

解答 解：（1）延長(zhǎng)CD交x軸于M，延長(zhǎng)BA交x軸于N，如圖1，
則CM⊥x軸，BN⊥x軸，AD∥x軸，BN∥DM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，CD=AB=3，BC=AD=4，
∴BD=5，
當(dāng)t=2時(shí)，OD=2，
∴BO=7，
∵AD∥NO，
∴△ABD∽△NBO，
∴$\frac{AB}{BN}$=$\frac{AD}{NO}$=$\frac{BD}{BO}$，$\frac{3}{NB}$=$\frac{4}{NO}$=$\frac{5}{7}$，
∴BN=$\frac{21}{5}$，NO=$\frac{28}{5}$，
∴OM=$\frac{8}{5}$，DM=AN=$\frac{6}{5}$，PN=2×1+$\frac{6}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴D（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），P（-$\frac{28}{5}$，$\frac{16}{5}$）；
（2）如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，BP=3-t，
∴S=$\frac{1}{2}$BP•AD=$\frac{1}{2}$（3-t）×4=-2t+6；
②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，BP=t-3，
∴S=$\frac{1}{2}$BP•AB=$\frac{1}{2}$（t-3）×3=$\frac{3}{2}$t-$\frac{9}{2}$；
（3）設(shè)直線OB的解析式為y=kx，
把（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$）代入得-$\frac{8}{5}$k=$\frac{6}{5}$，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直線OB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x，
設(shè)點(diǎn)D（m，-$\frac{3}{4}$m），而OD=t，
∴m²+（-$\frac{3}{4}$m）²=t，解得m=-$\frac{4}{5}$t，
∴D（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t），
當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，P（-$\frac{4}{5}$t-4，$\frac{3}{5}$t+t），即P（-$\frac{4}{5}$t-4，$\frac{8}{5}$t）（0≤t≤3），
若△PEO∽△BCD，則PE：BC=OE：CD，即$\frac{8}{5}$t：4=（$\frac{4}{5}$t+4）：3，解得t=10（舍去），
若△PEO∽△DCB，則PE：DC=OE：BC，即$\frac{8}{5}$t：3=（$\frac{4}{5}$t+4）：4，解得t=3，
當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，P（-7+$\frac{1}{5}$t，$\frac{3}{5}$t+3），
若△PEO∽△BCD，則PE：BC=OE：CD，即（$\frac{3}{5}$t+3）：8=（7-$\frac{1}{5}$t）：3，解得t=$\frac{235}{13}$（舍去），
若△PEO∽△DCB，則PE：DC=OE：BC，即（$\frac{3}{5}$t+3）：3=（7-$\frac{1}{5}$t）：4，解得t=3，
綜上所述：當(dāng)t=3時(shí)，△PEO與△BCD相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要進(jìn)行分類討論，由三角形相似得出比例式才能得出結(jié)果．