Question

【題目】如圖，點(diǎn)M為拋物線與x軸的焦點(diǎn)為A（-3,0），B（1,0），與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)AM，AC，點(diǎn)D為線段AM上一動(dòng)點(diǎn)（不與A重合），以CD為斜邊在CD上側(cè)作等腰Rt△DEC，連結(jié)AE，OE.

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）求解AD:OE的值；

（3）當(dāng)△OEC為直角三角形時(shí)，求AD的值.

Answer 1

【答案】（1），M（-1，-4）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，求出b、c的值即可求出拋物線的解析式，進(jìn)而求出M的坐標(biāo)，（2）通過(guò)解析式可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，可知AO=OC根據(jù)∠DCA+∠ACE=∠OCE+∠ACE=可證明∠DCA=∠OCE，進(jìn)而可知△DCA∽△ECO.

即可求出AD:OE的值（3）分類討論：當(dāng)∠OEC=Rt∠時(shí)，由△DCA∽△ECO.可知∠ADC=∠OEC=Rt∠，由A、M、C三點(diǎn)坐標(biāo)可求出三邊長(zhǎng)度，可知∠MCA=∠ADC=Rt∠

由∠DAC=∠CAM，可證明△ADC∽△ACM，即可求出AD的長(zhǎng)；當(dāng)∠ECO=Rt∠時(shí)，同理得∠ACD=Rt∠點(diǎn)D和點(diǎn)M重合，

（1）把A（-3,0），B（1,0）代入，得

∴

∴

∴M（-1，-4）

（2）當(dāng)x=0時(shí)，解得y=-3，

∴C（0，-3）

∵A（-3，0）

∴AO=OC=3，

∵∠AOC=

∴∠OCA=且AC=OC

∵△CDE為等腰直角三角形

∴∠DCE=且DC=EC

∴∠DCA+∠ACE=∠OCE+∠ACE=

∴∠DCA=∠OCE.

∴△DCA∽△ECO.

∴

∴AD:OE=

（3）①當(dāng)∠OEC=Rt∠時(shí)，

∵△DCA∽△ECO，

∴∠ADC=∠OEC=Rt∠.

連接MC，∵A（-3,0），C（0,-3），M（-1,-4）

∴，，

∴，即∠MCA=∠ADC=Rt∠

∵∠DAC=∠CAM，

∴△ADC∽△ACM，

∴

∴

②當(dāng)∠ECO=Rt∠時(shí)，同理得∠ACD=Rt∠

∴點(diǎn)D和點(diǎn)M重合，∴