Question

9．如果一個(gè)多邊形的各邊都相等，且各內(nèi)角也都相等，那么這個(gè)多邊形就叫做正多邊形，如圖，就是一組正多邊形，觀察每個(gè)正多邊形中∠α的變化情況，解答下列問題

（1）將下面的表格補(bǔ)充完整：

正多邊形邊數(shù)	3	4	5	6	…	n
∠α的度數(shù)	60°	45°	36°	30°	…	（$\frac{180}{n}$）°

（2）根據(jù)規(guī)律，是否存在一個(gè)正多邊形，其中的∠α=20°？若存在，請求出n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)計(jì)算、觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：正n邊形中的∠α=（$\frac{180}{n}$）°；
（2）根據(jù)正n邊形中的∠α=（$\frac{180}{n}$）°，可得答案．

解答 解：（1）觀察上面每個(gè)正多邊形中的∠α，填寫下表：

正多邊形邊數(shù)	3	4	5	6	…	n
∠α的度數(shù)	60°	45°	36°	30°	…	（$\frac{180}{n}$）°

（2）存在，理由如下：
∵設(shè)存在正n邊形使得∠α=20°，
得∠α=20°=（$\frac{180}{n}$）°．
解得：n=9，
∴存在正n邊形使得∠α=20°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，每題都利用了正多邊形的內(nèi)角：$\frac{（n-2）180°}{n}$，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的兩底角相等．