Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值為10，求實數(shù)a，b的值；
（2）當b=1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)f'（x）=3x²+2ax+b，$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=10}\\{{f}^{′}（1）=0}\end{array}\right.$求解．
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在（1，2）上恒成立，$2a≤-\frac{{1+3{x^2}}}{x}=-（\frac{1}{x}+3x）$在（1，2）上恒成立，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b，由$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=0}\\{f（1）=10}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{3+2a+b=0}\\{a+b+{a^2}=9}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}}\right.$
經(jīng)驗證，當$\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}}\right.$時，f'（x）=（x-1）（3x+11），f（1）為極小值；
當$\left\{{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}}\right.$時，f'（x）=3（x-1）²≥0恒成立，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，無極值；
綜上，a=4，b=-11…（6分）
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在（1，2）上恒成立，
$2a≤-\frac{{1+3{x^2}}}{x}=-（\frac{1}{x}+3x）$在（1，2）上恒成立，即$2a≤-\frac{13}{2}$，得$a≤-\frac{13}{4}$
經(jīng)驗證，當$a=-\frac{13}{4}$時滿足題意；∴a的取值范圍為$（-∞，-\frac{13}{4}]$

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)的切線問題，不等式恒成立，參變量的范圍問題的應(yīng)用，屬于簡單的綜合題目．