分析 (Ⅰ)當(dāng)0≤x≤π時(shí),利用三角恒等變換化簡函數(shù)f(x)的解析式,再利用正弦函數(shù)的圖象求得方程f(x)=1的解.
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閞,且滿足g(-x)=g(x)可得g(x)為偶函數(shù),化簡函數(shù)g(x)的解析式,利用正弦函數(shù)的值域,求得g(x)的值域.
解答 解:(Ⅰ)$f(x)=4{sin^2}x+4sinxcos(x+\frac{π}{6})-1=4{sin^2}x+4sinx(\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx)-1$
=$4{sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-2{sin^2}x-1=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin(2x-\frac{π}{6})$,
∴$2sin(2x-\frac{π}{6})=1∴sin(2x-\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$,∴$2x-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{6}或2kπ+\frac{5π}{6}(k∈Z)$.
∵0≤x≤π,∴$x=\frac{π}{6}或x=\frac{π}{2}$.
(Ⅱ)∵$g(x)=\frac{1}{2}|{f(x+\frac{π}{12})}|+\frac{1}{2}|{f(x+\frac{π}{3})}|=|{sin2x}|+|{cos2x}|$,∴g(-x)=|sin2(-x)|+|cos2(-x)|=|sin2x|+|cos2x|=g(x),
∴g(x)為偶函數(shù),$g(x)=|{sin2x}|+|{cos2x}|=\sqrt{1+2|{sin2x}||{cos2x}|}=\sqrt{1+|{sin4x}|}$,
∴g(x)的值域?yàn)?[{1,\sqrt{2}}]$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的圖象以及正弦函數(shù)的值域,屬于中檔題.
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