Question

19．直線l：y=kx+m與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（1）原點到l的距離為1，求出k和m的關系；
（2）若l與C交于A，B兩點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，求出k和m的關系．

Answer 1

分析 （1）利用點到直線的距離公式即可得出．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯立化為：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△＞0，化為：4k²+3＞m²．由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，代入即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，可得m²=1+k²．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化為：4k²+3＞m²．
∴x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+km•$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，
化為：7m²-12k²=12（4k²+3＞m²）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、數量積運算性質、一元二次方程的根與系數的關系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．