Question

11．定義實(shí)數(shù)a，b間的計(jì)算法則如下a△b=$\left\{\begin{array}{l}a，\;\;a≥b\\{b^2}，a＜b\end{array}$．
（1）計(jì)算2△（3△1）；
（2）對(duì)0＜x＜z＜y的任意實(shí)數(shù)x，y，z，判斷x△（y△z）與（x△y）△z的大小，并說明理由；
（3）寫出函數(shù)y=（1△x）+（2△x），x∈R的解析式，作出該函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和值域（只需要寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）先求出3△1，再求出2△（3△1）的值即可；
（2）分別求出x△（y△z）和（x△y）△z的值，討論y²與z的大小即可；
（3）討論x的大小，分x≥2，x＜1，1≤x＜2，求得函數(shù)式，畫出函數(shù)圖象，即可得到該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和值域．

解答 解：（1）實(shí)數(shù)a，b間的計(jì)算法則如下a△b=$\left\{\begin{array}{l}a，\;\;a≥b\\{b^2}，a＜b\end{array}$．
則2△（3△1）=2△3=3²=9；
（2）對(duì)0＜x＜z＜y的任意實(shí)數(shù)x，y，z，
x△（y△z）=x△y=y²，
（x△y）△z=y²△z，
此時(shí)若y²≥z，則（x△y）△z=y²；
若y²＜z，則（x△y）△z=z²．
即若y²≥z，則x△（y△z）=（x△y）△z；
若y²＜z，則x△（y△z）＞（x△y）△z．
（3）當(dāng)x＞2時(shí)，y=（1△x）+（2△x）=x²+x²=2x²；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，y=（1△x）+（2△x）=x²+2；
當(dāng)x≤1時(shí)，y=（1△x）+（2△x）=1+2=3．
即有y=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≤1}\\{{x}^{2}+2，1＜x≤2}\\{2{x}^{2}，x≥2}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)y的圖象，如右：
該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2），（2，+∞）；
值域?yàn)閇3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的理解和運(yùn)用，考查分類討論思想方法，以及數(shù)形結(jié)合思想方法，是一道中檔題．