19.已知數(shù)列{an}中,a1=1,a4=7,且an+1=an+λn.
(1)求λ的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn<2.

分析 (1)由a1=1,an+1=an+λn,可得a2=1+λ,a3=1+3λ,a4=1+6λ,由a4=7=1+6λ,解得λ.可得an+1-an=n.利用“累加求和”方法與等差數(shù)列的求和公式即可得出.
(2)${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$=$\frac{2}{n(n+1)}$=$2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,利用“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(1)∵a1=1,an+1=an+λn,∴a2=1+λ,a3=1+3λ,a4=1+6λ,
由a4=7=1+6λ,解得λ=1.∴an+1=an+n.∴an+1-an=n.
∴a1=1,a2=a1+1,a3=a2+2,a4=a3+3,‥‥an=an-1+(n-1),
以上各式累加得:an=1+1+2+3+4+…+(n-1)=$1+\frac{(n-1)(1+n-1)}{2}$=$\frac{{{n^2}-n+2}}{2}$.
(2)${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$=$\frac{2}{n(n+1)}$=$2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,
∴Tn=b1+b2+b3+b4+…+bn=$2(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+2(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
=$2(\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1})$,
∴bn<2.

點(diǎn)評 本題考查了“裂項(xiàng)求和方法”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“累加求和”方法、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.若不等式$\frac{4x+1}{x+2}$<0和不等式ax2+bx-2>0的解集相同,則a、b的值為(  )
A.a=-8,b=-10B.a=-4,b=-9C.a=-1,b=9D.a=-1,b=2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

10.若x,y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y≤2}\\{x+y≥0}\\{x≤4}\end{array}}\right.$,則z=2x+3y的取值范圍是[-4,5].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.已知f(x)=2x-2-x,a=($\frac{7}{9}$)${\;}^{\frac{1}{2}}$,b=($\frac{9}{7}$)${\;}^{\frac{1}{3}}$,c=log2$\frac{7}{9}$,則f(a),f(b),f(c)的大小順序?yàn)椋ā 。?table class="qanwser">A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b)D.f(b)<f(c)<f(a)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.在△ABC中,已知內(nèi)角A=$\frac{π}{3}$,邊BC=2$\sqrt{3}$.設(shè)內(nèi)角B=x,面積為y.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式和定義域;
(Ⅱ)求y的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=1,則|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.定義實(shí)數(shù)a,b間的計(jì)算法則如下a△b=$\left\{\begin{array}{l}a,\;\;a≥b\\{b^2},a<b\end{array}$.
(1)計(jì)算2△(3△1);
(2)對0<x<z<y的任意實(shí)數(shù)x,y,z,判斷x△(y△z)與(x△y)△z的大小,并說明理由;
(3)寫出函數(shù)y=(1△x)+(2△x),x∈R的解析式,作出該函數(shù)的圖象,并寫出該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和值域(只需要寫出結(jié)果).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x-3,且f(0)=2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=-2x+m,且y=f(x)的圖象恒在y=g(x)的圖象上方,試確定實(shí)數(shù)m的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.已知函數(shù)f(x)=lnx+$\frac{1-x}{ax}$,其中a為大于零的常數(shù)..
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值;
(3)求證:對于任意的n∈N*,且n>1時(shí),都有l(wèi)nn>$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$成立.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案