Question

4．已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+3=0關(guān)于直線x+y-1=0對稱，圓心在第二象限，半徑為$\sqrt{2}$．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在斜率為2的直線l，l截圓C所得的弦為AB，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，則求出l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求得圓心C（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），在x+y-1=0上，且半徑r=$\frac{\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}}{2}$=$\sqrt{2}$，聯(lián)解得D、E的值，即可得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點(diǎn)，建立條件方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）將圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x+$\frac{D}{2}$）²+（y+$\frac{E}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（D²+E²-12）
∴圓C的圓心坐標(biāo)為（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），半徑r=$\frac{\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}}{2}$，
∵圓C關(guān)于直線x+y-1=0對稱，半徑為$\sqrt{2}$．
∴-$\frac{D}{2}$-$\frac{E}{2}$-1=0且$\frac{\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}}{2}$=$\sqrt{2}$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{D=2}\\{E=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{D=-4}\\{E=2}\end{array}\right.$
結(jié)合圓心C在第二象限，得C的坐標(biāo)為（-1，2），（舍去C（1，-2））
∴圓C的方程是（x+1）²+（y-2）²=2 （6分）
（2）假設(shè)存在滿足要求的直線l，設(shè)其方程為y=2x+b，
設(shè)A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），由題意，y₁y₂+x₁x₂=0  （8分）
得：5x₁x₂+2b（x₁+x₂）+b²=0（*）   （10分）
將y=2x+b代入圓的方程（x+1）²+（y-2）²=2得：5x²+（4b-6）x+b²-4b+3=0
∴x₁+x₂=-$\frac{4b-6}{5}$，x₁x₂=$\frac{^{2}-4b+3}{5}$代入（*）得：2b²-8b+15=0 （14分）
∵△＜0，∴方程無解，滿足條件的直線不存在．（16分）

點(diǎn)評 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)圓的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．