Question

9．設F₁是橢圓${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$的下焦點，O為坐標原點，點P在橢圓上，則$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{PO}$的最大值為（　　）

• A． $4+2\sqrt{3}$
• B． $4-2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的標準方程求出F₁的坐標（0，-$\sqrt{3}$），設P（x，y），求出向量$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{PO}$的坐標，結(jié)合點P滿足橢圓的方程，把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關于P的橫坐標的函數(shù)，利用配方法求得最大值．

解答 解：由橢圓的標準方程知F₁（0，-$\sqrt{3}$），設P（x，y），
則：$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{PO}$=（-x，-$\sqrt{3}$-y）•（-x，-y）=${x}^{2}+\sqrt{3}y+{y}^{2}$=1-$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\sqrt{3}$y+y²
=$\frac{3}{4}{y}^{2}+\sqrt{3}y+1$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}y+1）^{2}$．
∵-2≤y≤2，∴當y=2時，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{PO}$取最大值4+2$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積，函數(shù)的值域，是中檔題．