Question

1．在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=-5+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t為參數），現以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ．
（Ⅰ）寫出直線l和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）已知點P為曲線C上的動點，求P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉化方法，即可寫出直線l和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）已知點P為曲線C上的動點，求出圓心到直線的距離，即可求P到直線l的距離的最小值．

解答 解：（Ⅰ）直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-5+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$消去參數t得普通方程y=x-4…（2分）
由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，以及x²+y²=ρ²，
整理得：x²+（y-2）²=4…（5分）
（Ⅱ）由（x-2）²+y²=0得圓心坐標為（0，2），半徑R=2，
則圓心到直線的距離為：$d=\frac{{|{2-0+4}|}}{{\sqrt{2}}}=3\sqrt{2}$，…（7分）
而點P在圓上，即O'P+PQ=d（Q為圓心到直線l的垂足點）
所以P到直線l的距離最小值為$3\sqrt{2}-2$．…（10分）

點評 本題考查三種方程的轉化，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．