Question

12．（1）設(shè)z∈C，z+|$\overline{z}$|=2+i，求z
（2）已知曲線y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$．求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），求出其共軛復(fù)數(shù)，以及模，由復(fù)數(shù)相等，解方程即可得到所求復(fù)數(shù)；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)，從而求得切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出化簡(jiǎn)即可，注意討論切點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），
則$\overline{z}$=a-bi，z+|$\overline{z}$|=2+i，
即為a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+bi=2+i，
可得b=1，a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，
解得a=$\frac{3}{4}$，b=1，
則z=$\frac{3}{4}$+i；
（2）∵P（2，4）在y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$上，又y′=x²，
∴斜率k=2²=4．
∴所求直線方程為y-4=4（x-2），4x-y-4=0．
當(dāng)切點(diǎn)不是點(diǎn)P時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（x₁，y₁），根據(jù)切線過點(diǎn)P，可得：
x₁²=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}-2}$又y₁=$\frac{1}{3}$x₁³+$\frac{4}{3}$，
可解出x₁=-1，y_i=1（舍去（2，4）），
所以切線方程為y-1=x+1
即切線方程為y=x+2
故切線方程為：4x-y-4=0或x-y+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，注意區(qū)分切點(diǎn)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．