Question

4．已知函數(shù)f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x²-2x-3
（1）求出函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象并寫出單調(diào)區(qū)間；
（3）證明：函數(shù)f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）只需求出x≤0時的表達式即可，設(shè)x＜0，則-x＞0，由x＞0時，f（x）=x²-2x-3，可求f（-x），再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可求出f（x），及f（0）．
（2）根據(jù)各段函數(shù)特征依次畫出即可；觀察圖象，從左向右呈上升趨勢為增函數(shù)，呈下降趨勢則為減函數(shù)，依此可寫出單調(diào)區(qū)間．
（3）求導數(shù)，利用導數(shù)大于0，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）當x＜0時，-x＞0，∴f（-x）=x²+2x-3，
又∵f（x）是奇函數(shù)∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x+3，
∴f（x）=-x²-2x+3，
當x=0時，f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-3，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-2x+3，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）函數(shù)y=f（x）的示意圖如下：
     
單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為：（-1，1）．
（3）當x＞1時，f（x）=x²-2x-3，f′（x）=2x-2＞0，
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及函數(shù)的奇偶性，屬中檔題．