Question

9．已知雙曲線與$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條漸近線被圓（x-c）²+y²=4a²截得弦長(zhǎng)為2b（雙曲線的焦距2c），則該雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得a與b的關(guān)系，利用雙曲線的離心率公式即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條漸近線方程為bx+ay=0，
圓（x-c）²+y²=4a²的圓心（c，0）到雙曲線的漸近線的距離為：$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
∵漸近線被圓（x-c）²+y²=4a²截得的弦長(zhǎng)為2b，
∴b²+b²=4a²，
∴b²=2a²，即c²=3a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程及離心率的求法，點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．