Question

4．已知函數(shù)h（x）=ax³-1（a∈R），g（x）=lnx．
（I）若f（x）=h（x）+3xg（x）圖象過點（1，-1）時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）函數(shù)F（x）=$（{a-\frac{1}{3}}）{x^3}$+$\frac{1}{2}{x^2}$g（a）-h（x）-1，當a＞${e^{\frac{10}{3}}}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，函數(shù)F（x）過點A（1，m）的切線F（x）切于點B（x₀，F(xiàn)（x₀））
①試將m表示成x₀的表達式．
②若切線至少有2條，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出B處的切線方程，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知f（x）=h（x）+3xg（x）=ax³-1+3xlnx，
又f（x）過點（1，-1），所以a=0，
∴f（x）=3xlnx-1，且定義域為（0，+∞），
f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故f（x）=3xlnx-1在（0，$\frac{1}{e}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上是增函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=（a-$\frac{1}{3}$）x³+$\frac{1}{2}$x²g（a）-h（x）-1，
F（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²lna，
①由已知切點為B（x₀，-$\frac{1}{3}$${{x}_{0}}^{3}$+$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$lna），
F′（x）=-x²+xlna，F(xiàn)′（x₀）=-${{x}_{0}}^{2}$+x₀lna，
則B處的切線方程為：
y-（-$\frac{1}{3}$${{x}_{0}}^{3}$+$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$lna）=（-${{x}_{0}}^{2}$+x₀lna）（x-x₀），將A點坐標代入得
m-（-$\frac{1}{3}$${{x}_{0}}^{3}$+$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$lna）=（-${{x}_{0}}^{2}$+x₀lna）（1-x₀），
所以m=$\frac{2}{3}$${{x}_{0}}^{3}$-（1+$\frac{1}{2}$lna）${{x}_{0}}^{2}$+x₀lna，（*）    …（8分）
②據(jù)題意，原命題等價于關(guān)于x₀的方程（*）至少有2個不同的解．
設(shè)φ（x）=$\frac{2}{3}$x³-（1+$\frac{1}{2}$lna）x²+xlna，
φ′（x）=2x²-（2+lna）x+lna=（x-1）（2x-lna），
因為a＞${e}^{\frac{10}{3}}$，所以$\frac{1}{2}$lna＞$\frac{5}{3}$＞1，
當x∈（-∞，1）和（$\frac{1}{2}$lna，+∞）時，φ′（x）＞0，φ（x）為增函數(shù)；
當x∈（1，$\frac{1}{2}$lna）時，φ′（x）＜0，φ（x）為減函數(shù)；
所以φ（x）的極大值為φ（1）=$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{3}$，
φ（x）的極小值為φ（$\frac{1}{2}$lna）=-$\frac{1}{24}$ln³a+$\frac{1}{4}$ln²a，
設(shè)lna=t，t＞$\frac{10}{3}$，
則原命題等價于$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2}lna-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}t-\frac{1}{3}}\\{m≥-{\frac{1}{24}ln}^{3}a+{\frac{1}{4}ln}^{2}a=-{\frac{1}{24}t}^{3}+{\frac{1}{4}t}^{2}}\end{array}\right.$對t＞$\frac{10}{3}$恒成立，…（12分）
所以由m≤$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{3}$對t＞$\frac{10}{3}$恒成立，得m≤$\frac{4}{3}$；        （1）
記s（t）=-$\frac{1}{24}$t³+$\frac{1}{4}$t²，s′（t）=-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$t=$\frac{1}{2}$t（1-$\frac{1}{4}$t），
所以t＞$\frac{10}{3}$時，s（t）的最大值為s（4）=$\frac{4}{3}$，由m≥-$\frac{1}{24}$t³+$\frac{1}{4}$t²對t＞$\frac{10}{3}$恒成立，得m≥$\frac{4}{3}$． （2）
由（1）（2）得，m=$\frac{4}{3}$．
綜上，當a＞${e}^{\frac{10}{3}}$，實數(shù)m的值為$\frac{4}{3}$時，函數(shù)F（x）過點A（1，m）的切線至少有2條．…（14分）

點評 本題考查了切線方程問題，函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．