【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(a>0,且a≠1)
(1)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(2)若對于x∈[2,4],恒有f(x)>loga成立,求m的取值范圍.
【答案】(1)奇函數(shù)(2)a>1時,0<m<15,0<a<1時,m>16
【解析】
試題分析:(1)判斷函數(shù)奇偶性首先判斷定義域是否對稱,在定義域對稱的前提下判斷與的關系來確定奇偶性;(2)將不等式利用對數(shù)函數(shù)的單調性化簡,轉化為真數(shù)的大小關系,利用分離參數(shù)法將不等式變形,通過求解構造的函數(shù)的最值得到m的取值范圍
試題解析:(1)因為>解得x>1或x<﹣1,
所以函數(shù)f(x)的定義域為(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),……………1分
函數(shù)f(x)為奇函數(shù),證明如下:
由(I)知函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱,
又因為f(﹣x)=loga=loga=loga()﹣1=﹣loga
=﹣f(x), ………………………………3分
所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)…………………4分
(2)若對于x∈[2,4],f(x)>loga恒成立
即loga>loga對x∈[2,4]恒成立…………5分
當a>1時,即>對x∈[2,4]成立.
則x+1>,即(x+1)(7﹣x)>m成立,
設g(x)=(x+1)(7﹣x)=﹣(x﹣3)2+16,
因為x∈[2,4]
所以g(x)∈[15,16],
則0<m<15, ………………………………8分
同理當0<a<1時,即<對x∈[2,4]成立.
則x+1<,即(x+1)(7﹣x)<m成立,
設g(x)=(x+1)(7﹣x)=﹣(x﹣3)2+16,
因為x∈[2,4]
所以g(x)∈[15,16],
則m>16,………………………………………………11分
綜上所述:a>1時,0<m<15,
0<a<1時,m>16 …………………12分.
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【題目】在平面直角坐標系中,過點的直線與拋物線相交于兩點,.
(1)求證:為定值;
(2)是否存在平行于軸的定直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值?如果存在,求該直線方程和弦長;如果不存在,說明理由.
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【題目】從一條生產(chǎn)線上每隔30分鐘取一件產(chǎn)品,共取了件,測得其產(chǎn)品尺寸后,畫出其頻率分布直方圖如圖,已知尺寸在內的頻數(shù)為92.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求尺寸在內產(chǎn)品的個數(shù);
(Ⅲ)估計尺寸大于25的頻率.
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【題目】某小型餐館一天中要購買,兩種蔬菜,,蔬菜每公斤的單價分別為2元和3元.根據(jù)需要蔬菜至少要買6公斤,蔬菜至少要買4公斤,而且一天中購買這兩種蔬菜的總費用不能超過60元.如果這兩種蔬菜加工后全部賣出,,兩種蔬菜加工后每公斤的利潤分別為2元和1元,餐館如何采購這兩種蔬菜使得利潤最大,利潤最大為多少元?
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【題目】四棱柱有幾條側棱,幾個頂點 ( )
A. 四條側棱、四個頂點 B. 八條側棱、四個頂點
C. 四條側棱、八個頂點 D. 六條側棱、八個頂點
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【題目】如圖1,已知四邊形為直角梯形, , , , 為等邊三角形, , ,如圖2,將, 分別沿折起,使得平面平面,平面平面,連接,設為上任意一點.
(1)證明: 平面;
(2)若,求的值.
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【題目】用反證法證明命題“三角形內角中至多有一個鈍角”,假設正確的是( )
A. 假設三個內角都是銳角 B. 假設三個內角都是鈍角
C. 假設三個內角中至少有兩個鈍角 D. 假設三個內角中至少有兩個銳角
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【題目】設拋物線的頂點在原點,其焦點F在y軸上,又拋物線上的點P(k,-2)與點離
為4,則k等于 ( )
A.4 B.4或-4 C.-2 D.-2或2
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