Question

19．若函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好為[m，n]，則稱f（x）為函數(shù)的一個“等值映射區(qū)間”．下列函數(shù)：①y=x²-1；②y=2+log₂x；③y=2^x-1；④$y=\frac{1}{x-1}$．其中，存在唯一一個“等值映射區(qū)間”的函數(shù)有2個．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好為[m，n]，則稱f（x）為函數(shù)的一個“等值映射區(qū)間”．根據(jù)新定義可知，“等值映射區(qū)間”即是函數(shù)與另一函數(shù)y=x有兩個交點．即可判斷．

解答 解：根據(jù)新定義可知，“等值映射區(qū)間”即是函數(shù)與另一函數(shù)y=x有兩個交點．[m，n]（m＜n）上的值域恰好為[m，n]，可見[m，n]是單調遞增．
對于①y=x²-1；根據(jù)新定義可得：x²-1=x，方程有兩個解，即函數(shù)y=x²-1與函數(shù)y=x有兩個交點．但在同一增區(qū)間上只有一個，故①不是；
對于②y=2+log₂x；根據(jù)新定義可得：2+log₂x=x，即函數(shù)y=2+log₂x與函數(shù)y=x有兩個交點．且在定義域內都是遞增，故②是；
對于③y=2^x-1；根據(jù)新定義可得：2^x-1=x，即函數(shù)y=2^x-1與函數(shù)y=x有兩個交點．且在定義域內都是遞增，故③是；
對于④$y=\frac{1}{x-1}$；根據(jù)新定義可得：x²-x=1，方程有兩個解，即函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$與函數(shù)y=x有兩個交點．但在同一增區(qū)間是只有一個，故④不是；
故答案為：2．

點評 本題考查了新定義的理解和定義域，值域的關系的運用．屬于中檔題．