Question

9．對于函數(shù)f（x）=xe^x有以下命題：
①函數(shù)f（x）只有一個零點； 
②函數(shù)f（x）最小值為-e； 
③函數(shù)f（x）沒有最大值； 
④函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減．
其中正確的命題是（只填序號）①③．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)等于0求出x的值，以求出的x的值為分界點把原函數(shù)的定義域分段，以表格的形式列出導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號及原函數(shù)的增減性，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點，把極值點的坐標代入原函數(shù)求極值（最值）．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=xe^x的定義域為R，
f'（x）=（xe^x）′=x′e^x+x（e^x）′=e^x+xe^x
令f'（x）=e^x+xe^x=e^x（1+x）=0，解得：x=-1．
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

由表可知函數(shù)f（x）=xe^x的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，+∞）．
當x=-1時，函數(shù)f（x）=xe^x的極小值（最小值）為f（-1）=-$\frac{1}{e}$＜0，且x＞0時，f（x）＞0，x＜0時，f（x）＜0，x=0時，f（x）=0．
∴對于①函數(shù)f（x）只有一個零點，正確； 
對于②函數(shù)f（x）最小值為-e^-1，錯； 
對于③，函數(shù)f（x）沒有最大值，正確； 
對于④，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，錯．
 故答案為：①③

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，在求出導函數(shù)等于0的x值后，借助于表格分析能使解題思路更加清晰，此題是中檔題．