Question

16．已知函數(shù)f（x）=a（x-1）lnx+1（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞x-alnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為axlnx+1-x＞0在（1，+∞）恒成立，令g（x）=axlnx+1-x，（x＞1），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=alnx+a-$\frac{a}{x}$，f″（x）=$\frac{a（x+1）}{{x}^{2}}$，
a＞0時(shí)，f″（x）＞0，f′（x）在（0，+∞）遞增，
又f′（1）=0，∴x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
a＜0時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
a=0時(shí)，f（x）=1，是常函數(shù)；
（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞x-alnx恒成立，
即axlnx+1-x＞0在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=axlnx+1-x，（x＞1），
g′（x）=alnx+a-1，
a＞0時(shí)，g′（x）遞增，g′（1）=a-1，又g′（1）=0，
∴g′（a）≥0，即a-1≥0，解得：a≥1，
a≤0時(shí)，x→+∞時(shí)，g（x）→-∞不成立，
∴a≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．