Question

12．如圖（1）所示，以線段BD為直徑的圓經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且AB=BC=1，BD=2，延長(zhǎng)DA，CB交于點(diǎn)P，將△PAB沿AB折起，使點(diǎn)P至點(diǎn)P′位置得到如圖2所示的空間圖形，其中點(diǎn)P′在平面ABCD內(nèi)的射影恰為線段AD的中點(diǎn)Q，若線段P′B，P′C的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．
（1）證明：A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)不共面；
（2）求幾何體P′ADE的體積．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)A、D、E、F四點(diǎn)共面，推導(dǎo)出BC∥AD，與BC∩AD=P矛盾，由此能證明A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)不共面．
（2）幾何體P′ADE的體積${V}_{{P}^{'}-ADE}={V}_{E-{P}^{'}AD}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）（反證法）假設(shè)A、D、E、F四點(diǎn)共面，
∵EF∥BC，BC?平面AEFD，EF?平面AEFD，
∴BC∥平面AEFD，
又平面AEFD∩平面ABCD=AD，且BC?平面ABCD，
∴BC∥AD，
就與圖（1）中BC∩AD=P矛盾，
故假設(shè)不成立，即A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)不共面．
解：（2）∵BD是圓的直徑，∴∠BAD=∠BCD=$\frac{π}{2}$，
在Rt△ABD和Rt△BCD中，
∵AB=BC=1，BD=2，∴$AD=CD=\sqrt{3}$，且$∠ADB=∠BDC=\frac{π}{6}$，
∴$∠ADC=\frac{π}{3}$，連結(jié)AC，則△ACD為正三角形，
又Q為AD中點(diǎn)，連結(jié)CQ，則CQ⊥AD，
又點(diǎn)P′在平面ABCD內(nèi)的射影恰為線段AD的中點(diǎn)Q，
∴P′Q⊥底面ABCD，
AD=AC=DC=$\sqrt{3}$，QC=$\sqrt{3-\frac{3}{4}}$=$\frac{3}{2}$，
設(shè)PQ=x，則由切割線定理得：${P}^{'}A（{P}^{'}A+\sqrt{3}）={P}^{'}B（{P}^{'}B+1）$，
即$\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}$（$\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}$+$\sqrt{3}$）=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{7}{4}}$（$\sqrt{{x}^{2}+\frac{7}{4}}+1$），
解得P′Q=x=$\frac{3}{2}$，
∴${S}_{△{P}^{'}AD}=\frac{1}{2}×AD×{P}^{'}Q$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
E到平面P′AD的距離d=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}$，
∴幾何體P′ADE的體積：
${V}_{{P}^{'}-ADE}={V}_{E-{P}^{'}AD}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{P}^{'}AD}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)不共面的證明，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．