Question

7．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A、B、C在一條直線上，滿足$\overrightarrow{OA}$=（-3，m+1），$\overrightarrow{OB}$=（n，3），$\overrightarrow{OC}$=（7，4），且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；
（2）設(shè)△AOC的重心為G，且$\overrightarrow{OG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，求cos∠AOC的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{OA}⊥$$\overrightarrow{OB}$，利用平面向量的坐標(biāo)表示列出方程組，求出m、n；
（2）由三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用夾角公式即可求出答案．

解答 解：（1）因?yàn)槿�點(diǎn)A，B，C在一條直線上，所以$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{BC}$，
又$\overrightarrow{AB}=（n+3，2-m）$，$\overrightarrow{BC}=（7-n，1）$，
所以n+3=（7-n）（2-m），①
因?yàn)?\overrightarrow{OA}⊥$$\overrightarrow{OB}$，所以-3n+3（m+1）=0，即n=m+1，②
由①、②解得$\left\{\begin{array}{l}m=8\\ n=9\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=2\end{array}\right.$；
（2）因?yàn)镚為△OAC的重心，且$\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，
所以點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)，
所以m=1，n=2；
所以$\overrightarrow{OA}=（-3，2）$，$\overrightarrow{OC}=（7，4）$，
因此$cos∠AOC=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}}{{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OC}|}}=\frac{-21+8}{{\sqrt{13}•\sqrt{65}}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示以及三角形重心的性質(zhì)和平面向量的夾角公式問題，是綜合題．