Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{x}+2，x≤1}\\{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}，x＞1}\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則x₂f（x₁）的取值范圍是（0，10）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，得到1＜x₂＜5．將x₂f（x₁）轉(zhuǎn)化為x₂f（x₂），利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=-2^x+2∈（0，2]，
由$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=2得$\frac{1}{2}$x=$\frac{5}{2}$，得x=5，
若存在實(shí)數(shù)x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），
則1＜x₂＜5．
則x₂f（x₁）=x₂f（x₂）=x₂（$\frac{1}{2}$x₂-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（x₂²-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
則函數(shù)在1＜x₂＜5上為增函數(shù)，
當(dāng)x₂=1時(shí)，$\frac{1}{2}$（x₂²-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$=0，
當(dāng)x₂=5時(shí)，$\frac{1}{2}$（x₂²-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$=10，
即0＜x₂f（x₁）＜10，
即x₂f（x₁）的范圍是（0，10），
故答案為：（0，10）

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．