Question

2．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足${S_{n+2}}=4{S_n}+6，n∈{N^*}$．
（1）求a₁及通項公式a_n；
（2）若${b_n}=\frac{n}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出a₁+a₂+a₃=4a₁+6，a₁+a₂+a₃+a₄=4（a₁+a₂）+6，由此求出q=2，從而得到a₁=2，由此能求出${a}_{n}={2}^{n}$．
（2）T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
滿足${S_{n+2}}=4{S_n}+6，n∈{N^*}$，
∴n=1時，S₃=4S₁+6，∴a₁+a₂+a₃=4a₁+6，①
n=2時，a₁+a₂+a₃+a₄=4（a₁+a₂）+6，②
由②-①，得${a}_{4}=4{a}_{2}={a}_{2}{q}^{2}$，
∴q²=4，∵q＞0，∴q=2，
由①式知${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）=4{a}_{1}+6$，
∴a₁（1+2+4）=4a₁+6，3a₁=6，解得a₁=2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（2）∵${b_n}=\frac{n}{a_n}$，∴T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，③
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n}}+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，④
由③-④，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．