Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；      
（2）求數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}-n\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式：a_n=S_n-S_n-1（n＞1），結(jié)合等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求；
（2）求得$\frac{1}{a_n}-n=\frac{1}{2^n}-n$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）由已知S_n=2a_n-a₁有a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n＞1），
即a_n=2a_n-1（n＞1）．從而a₂=2a₁，a₃=4a₁．
又∵a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，
即a₁+a₃=2（a₂+1），
∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
故${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）得$\frac{1}{a_n}-n=\frac{1}{2^n}-n$，
因數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
即有T_n=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（1+2+…+n），
∴${T_n}=\frac{{\frac{1}{2}[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n（n+1）}{2}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式：a_n=S_n-S_n-1（n＞1），考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的求和方法：分組求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．