Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），直線l與C交于P₁，P₂兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；
（2）已知Q（3，0），求||P₁Q|-|P₂Q||的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²=4ρcosθ，由$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ^2}={x^2}+{y^2}}\\{ρcosθ=x}\end{array}}\right.$能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，直線l消去參數(shù)t得能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入x²+y²=4x，得：${t^2}+\sqrt{3}t-3=0$，再由點(diǎn)Q（3，0）在圓C的內(nèi)部，能求出||P₁Q|-|P₂Q||的值．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，
由$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ^2}={x^2}+{y^2}}\\{ρcosθ=x}\end{array}}\right.$得x²+y²=4x，
即C的直角坐標(biāo)方程為：（x-2）²+y²=4，
∵直線l的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l消去參數(shù)t得直線l的普通方程為：$x-\sqrt{3}y-3=0$．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入x²+y²=4x，得：${t^2}+\sqrt{3}t-3=0$，
設(shè)P₁，P₂的對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t₁，t₂，∴${t_1}+{t_2}=-\sqrt{3}，{t_1}{t_2}=-3$，
而（3-2）²+0²＜4，即點(diǎn)Q（3，0）在圓C的內(nèi)部，
∴$|{|{{P_1}Q}|-|{{P_2}Q}|}|=|{|{t_1}|-|{t_2}|}|=|{{t_1}+{t_2}}|=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直線坐標(biāo)方程、直線的普通方程的求法，考查兩線段的之差的絕對(duì)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直線坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．